Matematik notesnota, bab 7

Graf Gerakan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 182–209

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh melukis graf jarak-masa berdasarkan jadual jarak-masa dan berdasarkan persamaan yang mewakili hubungan antara jarak dengan masa (7.1.1)
Saya boleh mentafsir graf jarak-masa dan menghuraikan gerakan berdasarkan graf tersebut, termasuk laju, keadaan pegun, gerakan balik dan laju purata (7.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan graf jarak-masa (7.1.3)
Saya boleh melukis graf laju-masa berdasarkan jadual laju-masa dan berdasarkan persamaan yang mewakili hubungan antara laju dengan masa (7.2.1)
Saya boleh membuat perkaitan antara luas di bawah graf laju-masa dengan jarak yang dilalui dan seterusnya menentukan jarak (7.2.2)
Saya boleh mentafsir graf laju-masa dan menghuraikan gerakan berdasarkan graf tersebut, termasuk pecutan, laju seragam dan nyahpecutan (7.2.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan graf laju-masa (7.2.4)

7.1Graf jarak-masa

Melukis graf jarak-masa (7.1.1)

Pada graf jarak-masa, paksi mencancang mewakili jarak yang dilalui dan paksi mengufuk mewakili masa yang diambil. Kecerunan graf mewakili kadar perubahan jarak, iaitu laju.

Laju = jarak ÷ masa. Kecerunan = jarak mencancang ÷ jarak mengufuk. Dua rumus ini memberi nilai yang sama pada graf jarak-masa.

Graf jarak-masa boleh dilukis jika maklumat gerakan diberikan sebagai (a) jadual jarak-masa atau (b) persamaan yang mewakili hubungan antara jarak dengan masa. Langkahnya:

Pilih skala yang sesuai bagi mewakili jarak dan masa yang diberikan.
Plot titik yang mewakili pasangan nilai jarak dan masa pada kertas grid atau kertas graf.
Sambungkan titik-titik yang diplot dengan pembaris.

Contoh 1 (m.s. 184 dan 185): jadual jarak-masa

Azreen berlatih berbasikal selama 2 jam. Jadual menunjukkan jarak yang dilalui dan masa yang diambil.

Masa (minit)	0	30	60	90	120
Jarak (km)	0	10	20	30	40

Graf jarak-masa: garis lurus dari (0, 0) ke (120 minit, 40 km) — Semua titik terletak pada satu garis lurus, maka lajunya seragam.

Contoh 2 (m.s. 185): daripada persamaan

Encik Selva memandu selama 3 jam sejauh 240 km. Jarak, s km, diwakili oleh s = 80t, dengan t ialah masa dalam jam.

Masa, t (jam)	0	1	2	3
Jarak, s (km)	0	80	160	240

Apabila t = 0, s = 80(0) = 0. Apabila t = 3, s = 80(3) = 240. Plotkan titik-titik itu dan sambungkan.

Contoh 3 (m.s. 185 dan 186): persamaan yang menurun

Jaswinder Singh mengambil bahagian dalam acara merentas desa sejauh 8 km. Jarak dari garisan penamat ialah s = 8 − ¹⁄₅t, dengan s dalam km dan t dalam minit, 0 ≤ t ≤ 40.
t = 0: s = 8 − ¹⁄₅(0) = 8. t = 40: s = 8 − ¹⁄₅(40) = 0.

Graf jarak-masa menurun dari (0, 8) ke (40 minit, 0) — Garis menurun kerana jarak dari garisan penamat semakin berkurang.

Suatu garis lurus boleh dilukis dengan memplot sekurang-kurangnya dua titik yang berkaitan. Gunakan titik ketiga untuk menyemak garis anda.

Mentafsir graf jarak-masa (7.1.2)

Bahagian graf	Kecerunan	Gerakan
Condong ke atas	Positif	Bergerak menjauhi titik asal dengan laju seragam
Mengufuk	Sifar	Tiada perubahan jarak: objek pegun (berhenti)
Condong ke bawah	Negatif	Objek bergerak balik ke tempat asal atau bergerak pada arah bertentangan

Kecerunan positif dan kecerunan negatif menunjukkan arah gerakan. Laju ialah nilai kecerunan tanpa tanda negatif.

Contoh 4 (m.s. 188): dua kenderaan

Graf menunjukkan gerakan sebuah kereta (OA) dari Puchong ke Bandaraya Melaka dan sebuah bas persiaran (BC) dari Bandaraya Melaka ke Puchong.

Garis kereta dari (0, 0) ke (2 jam, 150 km); garis bas dari (0, 150) ke (3 jam, 0)

Laju kereta = (150 − 0) ÷ (2 − 0) = 75 km j⁻¹.
Laju bas = (0 − 150) ÷ (3 − 0) = −50 km j⁻¹, maka lajunya 50 km j⁻¹. Tanda negatif bermakna arah gerakan bas bertentangan dengan arah gerakan kereta.
Beza laju = 75 − 50 = 25 km j⁻¹.

Contoh 5 (m.s. 188): kereta selama 4.5 jam

Graf jarak-masa: O ke A (2 jam, 150 km), A ke B mengufuk hingga 3 jam, B ke C (4.5 jam, 270 km)

(a)(i) Tempoh pegun = 3 − 2 = 1 jam (garis AB mengufuk).
(a)(ii) Laju sejam yang pertama = laju 2 jam yang pertama = (150 − 0) ÷ (2 − 0) = 75 km j⁻¹. Graf ialah garis lurus, jadi lajunya sama untuk setiap jam.
(b) 90 minit terakhir = 4.5 − 3 = 1.5 jam: laju = (270 − 150) ÷ 1.5 = 80 km j⁻¹. Kereta bergerak sejauh 120 km dengan laju 80 km j⁻¹.

Contoh 6 (m.s. 189): perjalanan pergi dan balik

Sahana berbasikal ke pejabat pos sejauh 2 km dan pulang. Dia berada di pejabat pos antara t dengan 0950, dan sampai di rumah pada 1010. Dia bertolak pada 0920.
(a)(i) Jumlah jarak = 2 + 2 = 4 km.
(a)(ii) Laju pergi 8 km j⁻¹: masa = jarak ÷ laju = 2 ÷ 8 = 0.25 jam = 15 minit, maka t = 0920 + 15 minit = 0935.
(b) Dari pejabat pos ke rumah: 0950 hingga 1010 ialah 20 minit = ¹⁄₃ jam. Kadar perubahan jarak = (0 − 2) ÷ ¹⁄₃ = −6 km j⁻¹. Sahana berbasikal sejauh 2 km dengan laju 6 km j⁻¹ selama 20 minit.

Kecerunan negatif pada graf jarak-masa bukan bermakna objek memperlahan. Ia bermakna objek bergerak balik. Apabila ditanya laju, tulis nilai positif.

Tukar unit masa sebelum mengira. Jika masa diberi dalam minit dan jawapan dalam km j⁻¹, tukar minit kepada jam dahulu (1 minit = ¹⁄₆₀ jam).

Laju purata = jumlah jarak yang dilalui ÷ jumlah masa yang diambil. Laju suatu gerakan biasanya berubah-ubah sepanjang perjalanan, maka laju purata digunakan. Masa berhenti (pegun) mesti dimasukkan dalam jumlah masa.

Contoh 7 (m.s. 189 dan 190): Segamat ke Muar

Puan Zabedah memandu dari Segamat ke Muar melalui Tangkak. Jarak ke Muar ialah 80 km dan masa keseluruhan 1.5 jam.

Graf jarak-masa dari Segamat (0, 0) ke Tangkak (1 jam, 50 km) dan Muar (1.5 jam, 80 km)

(a) Laju purata = 80 km ÷ 1.5 j = 53¹⁄₃ km j⁻¹.
(b) Dari Segamat ke Tangkak lajunya 50 km j⁻¹ selama 1 jam, maka jarak = 50 × 1 = 50 km. Jarak antara Tangkak dengan Muar = 80 − 50 = 30 km.

Graf jarak-masa naik dari (0, 0) ke (30 minit, 12 km), mengufuk hingga 45 minit, kemudian naik ke (60 minit, 18 km). Hitung laju purata untuk sejam itu dan laju 30 minit yang pertama dalam km j⁻¹.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Laju purata = 18 km ÷ 1 j = 18 km j⁻¹. Laju 30 minit pertama = 12 ÷ 0.5 = 24 km j⁻¹. Rehat 15 minit dimasukkan dalam jumlah masa.

Menyelesaikan masalah graf jarak-masa (7.1.3)

Gunakan strategi: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan. Rumus yang berguna: laju = jarak ÷ masa, jarak = laju × masa, masa = jarak ÷ laju.

Contoh 8 (m.s. 191 dan 192): graf tidak lengkap

Encik Tan memandu dari Seremban ke Lumut (300 km). Dia berhenti di Rawang untuk makan tengah hari. Graf belum lengkap.

Graf jarak-masa lengkap: Seremban ke Rawang (1.5 jam, 100 km), pegun hingga 2.5 jam, kemudian ke Lumut (5 jam, 300 km)

(a) Laju purata dari Seremban ke Rawang ialah 66²⁄₃ km j⁻¹ selama 1.5 jam: jarak = 66²⁄₃ × 1.5 = 100 km.
(b) Rawang ke Lumut = 300 − 100 = 200 km. Laju 80 km j⁻¹: masa = 200 ÷ 80 = 2.5 jam. Garis dari Rawang ke Lumut dilukis sehingga masa 5 jam dan jarak 300 km.

Contoh 9 (m.s. 192 dan 193): kadar perubahan jarak yang sama

Graf OA dan BC (kereta Encik Raven dari Kuala Lipis ke Cameron Highlands) mempunyai kadar perubahan jarak yang sama. O = (0, 0), A = (52 minit, 65 km), B = (77 minit, 65 km), C = (t minit, 135 km).
(a) Kecerunan OA = kecerunan BC: (65 − 0) ÷ (52 − 0) = (135 − 65) ÷ (t − 77). Maka 65/52 = 70/(t − 77), t − 77 = 70 × 52 ÷ 65 = 56 dan t = 133.
(b) Encik Manaf (laju purata 72 km j⁻¹) menempuh 135 km: masa = 135 ÷ 72 = 1.875 j = 112.5 minit. Beza masa = 133 − 112.5 = 20.5 minit.

Dua gerakan yang berlaku dengan laju yang sama dilukis sebagai garis selari. Kecerunan yang sama membolehkan anda membentuk persamaan untuk mencari nilai yang tidak diketahui.

Pada graf jarak-masa, OA ialah (0, 0) ke (24 minit, 18 km) dan BC ialah (36 minit, 18 km) ke (t minit, 45 km). Kecerunan OA = kecerunan BC. Cari t.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

18/24 = 27/(t − 36). t − 36 = 27 × 24 ÷ 18 = 36. t = 72.

7.2Graf laju-masa

Melukis graf laju-masa (7.2.1)

Pada graf laju-masa, paksi mencancang mewakili laju dan paksi mengufuk mewakili masa. Kecerunan graf mewakili kadar perubahan laju, iaitu pecutan.

Kaedah melukis sama seperti graf jarak-masa: daripada jadual laju-masa atau daripada persamaan. Pilih skala, plot titik, sambungkan dengan pembaris.

Contoh 10 (m.s. 195 dan 196): jadual laju-masa

Masa (saat)	0	1	2	3	4	5
Laju (m s⁻¹)	0	10	20	30	40	50

Graf laju-masa: garis lurus dari (0, 0) ke (5 saat, 50 m/s) — Laju bertambah 10 m s⁻¹ setiap saat, maka pecutannya 10 m s⁻².

Contoh 11 (m.s. 196): daripada persamaan

Laju sebuah kapal terbang yang mendarat ialah v = 800 − 1 600t, dengan v dalam km j⁻¹ dan t dalam jam, 0 ≤ t ≤ 0.5.

Masa, t (jam)	0	0.5
Laju, v (km j⁻¹)	800	0

t = 0: v = 800. t = 0.5: v = 800 − 1 600(0.5) = 0.

Graf laju-masa menurun dari (0, 800) ke (0.5 jam, 0)

Luas di bawah graf laju-masa (7.2.2)

Pada graf laju-masa, luas di bawah graf = jarak yang dilalui. Kerana jarak = laju × masa, luas segi empat tepat di bawah garis mengufuk ialah jarak.

Rangsangan Minda 1 (m.s. 197): gerakan dengan laju seragam menghasilkan garis mengufuk. Luas segi empat tepat itu sama dengan jarak.

Pernyataan	Laju	Luas = laju × masa
Encik Faizal memandu sejauh 200 km dalam 4 jam	200 ÷ 4 = 50 km j⁻¹	50 × 4 = 200 km
Bas persiaran bergerak 150 km dalam 2 jam	150 ÷ 2 = 75 km j⁻¹	75 × 2 = 150 km
Puan Malini berkayuh 8 km dalam 40 minit	8 ÷ ²⁄₃ = 12 km j⁻¹	12 × ²⁄₃ = 8 km
Encik Gomez berlari 4 km dalam 30 minit	4 ÷ 0.5 = 8 km j⁻¹	8 × 0.5 = 4 km

Kecerunan graf jarak-masa memberi laju, dan luas di bawah graf laju-masa memberi jarak: dua graf ini saling melengkapkan.

Contoh 12 (m.s. 198): luas trapezium

(a) Laju naik dari 5 ke 10 km j⁻¹ dalam ⁴⁄₅ jam. Jarak = luas trapezium = ¹⁄₂ × ⁴⁄₅ × (5 + 10) = 6 km.
(b) Laju turun dari 80 ke 40 km j⁻¹ dalam 6 minit. Jarak = ¹⁄₂ × (6 ÷ 60) × (40 + 80) = 6 km.

Luas trapezium = ¹⁄₂ × (hasil tambah dua sisi selari) × lebar. Sisi selari ialah dua nilai laju dan lebar ialah masa.

Pastikan unit masa pada laju dan pada masa adalah sama. Jika laju dalam km j⁻¹ tetapi masa dalam minit, tukar masa kepada jam (6 minit = 6 ÷ 60 jam).

Contoh 13 (m.s. 198 dan 199): kereta Puan Liew selama 36 minit

Graf melalui (0, 0), (10 minit, 72 km j⁻¹), (20 minit, 40 km j⁻¹) dan (36 minit, 72 km j⁻¹).

Graf laju-masa: (0, 0) ke (10, 72), turun ke (20, 40), naik ke (36, 72)

(a) Jumlah jarak = ¹⁄₂ × ¹⁰⁄₆₀ × 72 + ¹⁄₂ × ¹⁰⁄₆₀ × (40 + 72) + ¹⁄₂ × ¹⁶⁄₆₀ × (40 + 72) = 6 + 9¹⁄₃ + 14¹⁴⁄₁₅ = 30.27 km.
(b) Laju purata = 30.27 ÷ (36 ÷ 60) = 50.45 km j⁻¹ (buku teks).

Nota: jika nilai tepat 30⁴⁄₁₅ km digunakan, 30⁴⁄₁₅ ÷ 0.6 = 50.44 km j⁻¹. Buku teks membundarkan jarak dahulu dan memberi 50.45.

Mentafsir graf laju-masa (7.2.3)

Graf laju-masa P ke Q naik dari u ke v, Q ke R mengufuk, R ke S menurun ke 0; tiga kawasan A, B, C berwarna — Graf laju-masa *PQRS* (contoh nombor: u = 10, v = 30, t₁ = 4, t₂ = 10, t₃ = 16). Kawasan A ialah trapezium, B segi empat tepat dan C segi tiga.

Bahagian	Kecerunan	Gerakan	Luas
PQ	Positif	Pecutan: laju bertambah dari u ke v	Trapezium A = jarak dalam t₁ saat
QR	Sifar	Laju seragam: tiada perubahan laju	Segi empat tepat B = jarak dalam (t₂ − t₁) saat
RS	Negatif	Nyahpecutan: laju berkurang	Segi tiga C = jarak dalam (t₃ − t₂) saat

Pecutan = perubahan laju ÷ perubahan masa, dalam m s⁻². Nilai negatif ialah nyahpecutan: objek memperlahan tetapi tetap bergerak pada arah yang sama.

Untuk graf dalam rajah: pecutan PQ = (30 − 10) ÷ 4 = 5 m s⁻²; luas A = ¹⁄₂ × 4 × (10 + 30) = 80 m; luas B = 6 × 30 = 180 m; luas C = ¹⁄₂ × 6 × 30 = 90 m. Jumlah jarak = 350 m dan laju purata = 350 ÷ 16 = 21.875 m s⁻¹. Nyahpecutan RS = (0 − 30) ÷ 6 = −5 m s⁻², iaitu 5 m s⁻².

Contoh 14 (m.s. 201): kereta Puan Salina selama 15 saat

Graf melalui (0, 20), (5, 40), (10, 40) dan (15, 60), laju dalam m s⁻¹.
(a) Pecutan 5 saat pertama = (40 − 20) ÷ (5 − 0) = 4 m s⁻².
(b) 5 saat kedua: kereta bergerak dengan laju seragam 40 m s⁻¹.
(c) Jumlah jarak = ¹⁄₂ × 5 × (20 + 40) + (10 − 5) × 40 + ¹⁄₂ × (15 − 10) × (40 + 60) = 150 + 200 + 250 = 600 m.

Contoh 15 (m.s. 201 dan 202): kereta ke kedai serbaneka

Graf laju-masa: (0, 0) ke (10, 25), mengufuk hingga 20, turun ke (35, 0); segi tiga terakhir berwarna

(a) 10 saat pertama: pecutan = (25 − 0) ÷ (10 − 0) = 2.5 m s⁻².
(b) Dari saat ke-10 hingga ke-20: laju seragam 25 m s⁻¹.
(c) 15 saat terakhir: kadar perubahan laju = (0 − 25) ÷ (35 − 20) = −⁵⁄₃ m s⁻², iaitu nyahpecutan ⁵⁄₃ m s⁻².
(d) Jarak semasa nyahpecutan = ¹⁄₂ × (35 − 20) × 25 = 187.5 m.

Jangan keliru antara dua graf. Garis mengufuk ialah pegun pada graf jarak-masa tetapi laju seragam pada graf laju-masa. Hanya luas di bawah graf laju-masa memberi jarak.

Pecutan negatif bukan bermakna objek bergerak balik. Objek bergerak balik apabila arahnya berubah, bukan apabila lajunya berkurang.

Menyelesaikan masalah graf laju-masa (7.2.4)

Alat yang digunakan: kecerunan untuk pecutan, luas untuk jarak, jumlah jarak ÷ jumlah masa untuk laju purata. Bagi nilai yang tidak diketahui seperti t atau v, tulis luas atau kecerunan sebagai persamaan dan selesaikan.

Contoh 16 (m.s. 203): nilai t dan v

Graf melalui (0, 5), (4, 10), mengufuk hingga t, kemudian naik ke (14, v). Jarak 4 saat pertama ialah separuh daripada jarak dengan laju seragam.

Graf laju-masa: (0, 5) ke (4, 10), mengufuk ke t, naik ke (14, v)

(a) Jarak 6 saat pertama = ¹⁄₂ × 4 × (5 + 10) + (6 − 4) × 10 = 30 + 20 = 50 m. Laju purata = 50 ÷ 6 = ²⁵⁄₃ m s⁻¹.
(b) ¹⁄₂ × 4 × (5 + 10) = ¹⁄₂ × (t − 4) × 10, iaitu 30 = 5t − 20, maka t = 10.
(c) Pecutan 2 saat terakhir = 3.5: (v − 10) ÷ (14 − 10) = 3.5, v − 10 = 14, v = 24.

Contoh 17 (m.s. 204): beza jarak 160 m

Graf OAB ialah kereta dan graf CD ialah teksi. Beza jarak antara kereta dengan teksi dalam 24 saat ialah 160 m. Cari v.

Graf laju-masa kereta O-A-B (laju v - 10) dan teksi C-D dari 8 saat ke 24 saat

Jarak kereta − jarak teksi = 160. ¹⁄₂ × (v − 10) × (24 + 16) − ¹⁄₂ × (24 − 8) × v = 160. Maka 20v − 200 − 8v = 160, 12v = 360, v = 30.
Semak: kereta = ¹⁄₂ × 20 × 40 = 400 m, teksi = ¹⁄₂ × 16 × 30 = 240 m, beza = 160 m.

Contoh 18 (m.s. 204 dan 205): sebuah van

Graf melalui (0, 12), (3, 30), mengufuk hingga 10 saat, kemudian naik ke (t, 60).
(a) Pecutan 3 saat pertama = (30 − 12) ÷ 3 = 6 m s⁻².
(b) Jarak 10 saat pertama = ¹⁄₂ × 3 × (12 + 30) + (10 − 3) × 30 = 63 + 210 = 273 m.
(c) Pecutan selepas saat ke-10 sama dengan 6: (60 − 30) ÷ (t − 10) = 6, t − 10 = 5, t = 15.

Seorang pengayuh basikal memecut dari 0 ke 8 m s⁻¹ dalam 4 saat, kemudian berbasikal dengan laju seragam 8 m s⁻¹ selama 6 saat. Hitung pecutan dan jumlah jarak.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Pecutan = 8 ÷ 4 = 2 m s⁻². Jarak = ¹⁄₂ × 4 × 8 + 6 × 8 = 16 + 48 = 64 m.

Laju kereta bertambah dari 10 m s⁻¹ ke 30 m s⁻¹ dalam 5 saat, kemudian berkurang dengan sekata ke 0 dalam 10 saat. Hitung jumlah jarak.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Jarak = ¹⁄₂ × 5 × (10 + 30) + ¹⁄₂ × 10 × 30 = 100 + 150 = 250 m.

Peta konsep dan rumus ringkas

	Graf jarak-masa	Graf laju-masa
Kecerunan	Perubahan jarak ÷ perubahan masa = laju	Perubahan laju ÷ perubahan masa = pecutan
Kecerunan positif	Bergerak menuju destinasi	Laju bertambah (pecutan)
Kecerunan sifar	Pegun	Laju seragam
Kecerunan negatif	Bergerak balik ke kedudukan asal	Laju berkurang (nyahpecutan)
Luas di bawah graf	Tiada makna khas	Jarak yang dilalui

Laju purata = jumlah jarak ÷ jumlah masa.