Matematik notesnota, bab 8

Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 210–241

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan maksud serakan (8.1.1)
Saya boleh membandingkan dan mentafsir serakan dua atau lebih set data berdasarkan plot batang-dan-daun dan plot titik, dan membuat kesimpulan (8.1.2)
Saya boleh menentukan julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai sebagai sukatan untuk menghuraikan serakan bagi data tak terkumpul, termasuk data dalam jadual kekerapan (8.2.1)
Saya boleh menerangkan kelebihan dan kekurangan pelbagai sukatan serakan untuk menghuraikan data tak terkumpul (8.2.2)
Saya boleh membina dan mentafsir plot kotak bagi set data tak terkumpul (8.2.3)
Saya boleh menentukan kesan perubahan data (ditambah, didarab atau dibahagi dengan suatu pemalar, kewujudan pencilan, nilai dikeluarkan atau dimasukkan) terhadap sukatan serakan dan perwakilan grafik (8.2.4)
Saya boleh membandingkan dan mentafsir dua atau lebih set data tak terkumpul berdasarkan sukatan serakan yang sesuai dan membuat kesimpulan (8.2.5)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan serakan (8.2.6)

8.1Serakan

Serakan menunjukkan bagaimana nilai-nilai dalam suatu set data ditaburkan. Serakan adalah kecil jika data mempunyai julat yang kecil dan sebaliknya. Julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai ialah sukatan serakan (sukatan kuantitatif). (8.1.1)

Untuk melihat serakan suatu taburan, ambil kira beza antara nilai cerapan terbesar dengan nilai cerapan terkecil. Jika bezanya besar, data diserak lebih luas. Jika bezanya kecil, data tertumpu rapat. Cerapan ialah data atau dapatan yang diperoleh daripada suatu pemerhatian.

Contoh 1 (m.s. 213): beza jisim

Jisim 20 orang murid ialah daripada 47 kg hingga 79 kg.
Jisim terbesar = 79 kg, jisim terkecil = 47 kg. Beza jisim = 79 − 47 = 32 kg.
Bagi plot titik panjang serangga: terpanjang 6.8 cm, terpendek 3.1 cm. Beza saiz = 6.8 − 3.1 = 3.7 cm.

Skala dalam perwakilan data mesti seragam dan bermula daripada 0 supaya tidak mengelirukan pembaca (Memori Saya, m.s. 212).

Plot batang-dan-daun

Plot batang-dan-daun menunjukkan taburan suatu set data dan memudahkan kita melihat nilai atau julat nilai yang paling kerap muncul. Nilai puluh ditetapkan sebagai batang dan nilai sa sebagai daun. Digit daun disusun dari nilai terkecil ke nilai terbesar, dan kekunci mesti diberikan.

Batang	Daun
2	7 9
3	1 2 4 5 5 6 7 7 8 8 9
4	0 0 1 2 2 2 2 3 4 4 5 6 7 7 7 8 9 9
5	2 2 2 3 4

Kekunci 2 | 7 bermaksud 27. Markah 36 orang murid dalam ujian Prinsip Perakaunan, m.s. 215. Markah paling kerap muncul dalam julat 40 hingga 49.

Plot titik

Plot titik ialah carta statistik yang mengandungi titik-titik yang diplot menggunakan skala seragam; setiap titik mewakili satu cerapan. Plot titik sesuai digunakan jika bilangan cerapan tidak banyak.

Membandingkan serakan dua set data

Rangsangan Minda 2 (m.s. 216): plot batang-dan-daun berdempang

Dua set markah ujian Sejarah kelas 4 Budi, bulan April dan Mei, boleh dipaparkan pada satu plot batang-dan-daun dengan batang di tengah.

Markah ujian bulan April	Batang	Markah ujian bulan Mei
9 5 5 2	3	4 8
9 8 8 6 4 4 3 3 2 1 1	4	0 0 3 6 6 9
8 8 8 6 4 4 3 1	5	2 3 5 5 5 9 9
1 0	6	3 5 6 8 8 9
	7	1 3 5 7

Kekunci: 3 | 4 bermaksud 34 (Mei) dan 2 5 5 9 | 3 bermaksud 32, 35, 35 dan 39 (April). Ramai murid mendapat markah tinggi dalam ujian bulan Mei, maka pencapaian bulan Mei lebih baik.

Apabila dua set data diplot dengan plot batang-dan-daun, kita boleh membandingkan corak kedua-dua plot. Dengan plot titik, bandingkan bentuk, serakan titik, kekerapan dan sama ada cerapan tertumpu di kiri atau di kanan. Plot titik yang dibandingkan mesti menggunakan skala yang sama. (8.1.2)

Contoh 2 (m.s. 217): kuiz Sains dan Matematik

20 orang murid SMK Bestari mengambil bahagian dalam kuiz Sains dan kuiz Matematik semasa Minggu Sains dan Matematik.

Dua plot titik pada skala yang sama: skor kuiz Sains daripada 8 hingga 15 dan skor kuiz Matematik daripada 9 hingga 15 — Skor kuiz Sains dan kuiz Matematik 20 orang murid (m.s. 217).

(a) Skor kuiz Sains lebih diserak kerana beza antara cerapan terbesar dengan terkecil lebih besar: julat Sains = 15 − 8 = 7, julat Matematik = 15 − 9 = 6.
(b) Kuiz Sains mempunyai beza cerapan yang lebih tinggi, iaitu 7.
(c) Skor kuiz Matematik lebih baik kerana kebanyakan cerapan tertumpu pada bahagian kanan plot titik.

Semak kefahaman. Data jisim (kg) murid kumpulan P: 40 hingga 62; kumpulan Q: 45 hingga 90. Kumpulan manakah jisimnya lebih diserak? Mengapa?

Tunjuk jawapan

Kumpulan Q. Bezanya 90 − 45 = 45 kg, lebih besar daripada 62 − 40 = 22 kg (Kumpulan P).

8.2Sukatan serakan

Julat

Julat = nilai cerapan terbesar − nilai cerapan terkecil. Julat ialah sukatan serakan yang paling mudah dihitung. (8.2.1)

Contoh 3 dan 4 (m.s. 219)

Data 34, 23, 14, 26, 40, 25, 20: cerapan terkecil 14, terbesar 40. Julat = 40 − 14 = 26.
Jadual kekerapan skor kuiz Kimia: skor 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dengan bilangan murid 3, 5, 6, 8, 12, 7, 3. Skor terkecil 2 dan terbesar 8, maka julat = 8 − 2 = 6. (Daripada jadual kekerapan, ambil nilai terkecil dan terbesar sahaja; kekerapan tidak digunakan.)

Kuartil dan julat antara kuartil

Apabila data disusun mengikut tertib menaik, kuartil pertama, Q₁ ialah nilai pada kedudukan ¼ yang pertama dan kuartil ketiga, Q₃ ialah nilai pada kedudukan ¾ daripada keseluruhan susunan. Kuartil kedua, Q₂ ialah median.

Susun data mengikut tertib menaik.
Tentukan median data.
Bahagikan data kepada dua bahagian: sebelum median dan selepas median.
Q₁ ialah data di kedudukan tengah-tengah bahagian sebelum median; Q₃ ialah data di kedudukan tengah-tengah bahagian selepas median.
Jika bilangan data ganjil, median, Q₁ dan Q₃ terus dikenal pasti daripada susunan data (median tidak dimasukkan dalam kedua-dua bahagian).
Jika bilangan data genap, nilai median, Q₁ dan Q₃ diperoleh dengan mencari nilai purata dua data di kedudukan tengah-tengah.

Julat antara kuartil = Q₃ − Q₁

Contoh 5 (m.s. 220)

(a) 4, 4, 6, 8, 10, 13, 15, 16, 20, 22, 23 (11 data). Median = 13. Q₁ = 6 dan Q₃ = 20. Julat antara kuartil = 20 − 6 = 14.
(b) 11, 14, 14, 17, 19, 20, 20, 21, 22 (9 data). Median = 19. Q₁ = (14 + 14) ÷ 2 = 14 dan Q₃ = (20 + 21) ÷ 2 = 20.5. Julat antara kuartil = 20.5 − 14 = 6.5.
(c) 2.3, 2.5, 2.5, 2.6, 2.8, 2.9, 3.0, 3.2 (8 data). Q₁ = (2.5 + 2.5) ÷ 2 = 2.5, Q₃ = (2.9 + 3.0) ÷ 2 = 2.95. Julat antara kuartil = 2.95 − 2.5 = 0.45.

Tentukan median terlebih dahulu. Apabila bilangan data ganjil, median tidak termasuk dalam separuh bawah atau separuh atas.

Daripada jadual kekerapan

Hitung kekerapan longgokan (tambah kekerapan itu dengan semua kekerapan sebelumnya), kemudian cari kedudukan: Q₁ = cerapan ke-(¼ × N) dan Q₃ = cerapan ke-(¾ × N).

Contoh 6 (m.s. 221)

Skor 2 hingga 8 dengan kekerapan 3, 5, 6, 8, 12, 7, 3 (N = 44). Kekerapan longgokan: 3, 8, 14, 22, 34, 41, 44.
Q₁ = cerapan ke-(¼ × 44) = ke-11, iaitu dalam kumpulan C₉ hingga C₁₄, maka Q₁ = 4.
Q₃ = cerapan ke-(¾ × 44) = ke-33, iaitu dalam C₂₃ hingga C₃₄, maka Q₃ = 6.
Julat antara kuartil = 6 − 4 = 2.

Varians dan sisihan piawai

Varians ialah purata kuasa dua beza data dengan min. Sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians; ia mengukur serakan data pada min dan mempunyai unit yang sama dengan data. Min, x̄ = Σx ÷ N.

Data	Varians, σ²	Sisihan piawai, σ
Tak terkumpul (senarai)	Σ(x − x̄)² ÷ N atau Σx² ÷ N − x̄²	√varians
Jadual kekerapan	Σf(x − x̄)² ÷ Σf atau Σfx² ÷ Σf − x̄²	√varians

Rumus daripada Peta Konsep dan m.s. 221 hingga 222. Bagi jadual kekerapan, x̄ = Σfx ÷ Σf.

Contoh 7 dan 8 (m.s. 221 hingga 222)

Data 2, 4, 5, 5, 6: min = 22 ÷ 5 = 4.4. Varians = (4 + 16 + 25 + 25 + 36) ÷ 5 − 4.4² = 21.2 − 19.36 = 1.84.
Data 5, 7, 8, 8, 10, 13, 15, 16, 16, 20: min = 118 ÷ 10 = 11.8. Σx² = 1 608. Varians = 1 608 ÷ 10 − 11.8² = 160.8 − 139.24 = 21.56 dan sisihan piawai = √21.56 = 4.643.

Contoh 9 (m.s. 222 hingga 223): jadual kekerapan

Bilangan buku 0, 1, 2, 3, 4 dengan bilangan murid 3, 5, 8, 2, 2 (Σf = 20).

x	f	fx	x²	fx²
0	3	0	0	0
1	5	5	1	5
2	8	16	4	32
3	2	6	9	18
4	2	8	16	32
Jumlah	20	35		87

Min = 35 ÷ 20 = 1.75. Varians = 87 ÷ 20 − 1.75² = 4.35 − 3.0625 = 1.2875. Sisihan piawai = √1.2875 = 1.1347.

Kalkulator saintifik: pilih mod SD, masukkan setiap data dengan M+ sebanyak kekerapannya, kemudian tekan shift 2 dan pilih sisihan piawai populasi (xσn). Tekan butang x² untuk mendapat varians (Semak Jawapan, m.s. 223). Contoh 9 memberi 1.1347 dan 1.2875.

Semak kefahaman. Hitung varians dan sisihan piawai bagi 3, 5, 6, 8, 13.

Tunjuk jawapan

Min = 35 ÷ 5 = 7. Σx² = 9 + 25 + 36 + 64 + 169 = 303. Varians = 303 ÷ 5 − 7² = 60.6 − 49 = 11.6. Sisihan piawai = √11.6 = 3.406.

Kelebihan dan kekurangan sukatan serakan

Sukatan	Kelebihan	Kekurangan
Julat	Paling mudah dihitung	Tidak memberi gambaran yang baik tentang cara data ditaburkan; sangat dipengaruhi pencilan atau nilai ekstrem
Julat antara kuartil	Lebih sesuai apabila terdapat pencilan atau nilai ekstrem kerana ia hanya menunjukkan taburan separuh data di tengah	Tidak menggunakan semua data
Sisihan piawai	Biasa digunakan untuk membandingkan dua set data; sisihan piawai kecil bermakna data terserak dekat dengan min dan lebih konsisten	Lebih rumit dihitung dan dipengaruhi pencilan

Berdasarkan m.s. 224. Pencilan ialah nilai ekstrem yang jauh berbeza daripada data lain. (8.2.2)

Contoh 10 dan 11 (m.s. 224 hingga 225)

Data 10, 11, 11, 14, 18, 20, 21, 21, 25, 40. Julat = 40 − 10 = 30. Julat antara kuartil = 21 − 11 = 10. Julat antara kuartil lebih sesuai kerana wujud pencilan, 40.
Aiman: 40, 70, 90, 85, 64 dan John: 80, 65, 73, 58, 73. Kedua-duanya min 69.8 markah. Sisihan piawai Aiman = 17.67, John = 7.574. John dipilih kerana sisihan piawainya lebih rendah, maka pencapaiannya lebih konsisten.

Plot kotak

Plot kotak memaparkan taburan data berdasarkan lima nilai: nilai minimum, kuartil pertama, median, kuartil ketiga dan nilai maksimum. Plot kotak menunjukkan sama ada data simetri pada median dan biasanya digunakan untuk bilangan data yang banyak. (8.2.3)

Markah 15 orang dalam ujian Bahasa Cina: 35, 40, 42, 45, 52, 52, 53, 57, 62, 62, 66, 68, 73, 73, 75. Minimum 35, Q₁ = 45, median 57, Q₃ = 68, maksimum 75. Plot kotak dibina di atas garis nombor: kotak dari Q₁ hingga Q₃ dengan garis di median, serta garis ke nilai minimum dan maksimum.

Plot kotak markah ujian Bahasa Cina daripada 35 hingga 75, Q1 45, median 57, Q3 68 — Plot kotak markah Bahasa Cina (julat antara kuartil = 68 − 45 = 23, julat = 75 − 35 = 40).

Contoh 12 (m.s. 227): membaca plot kotak

Plot kotak (a) pada skala 10 hingga 80: minimum 18, Q₁ = 35, median 52, Q₃ = 64, maksimum 80. Julat antara kuartil = 64 − 35 = 29, julat = 80 − 18 = 62.
Plot kotak (b): minimum 0, Q₁ = 5, median 11, Q₃ = 21, maksimum 35. Julat antara kuartil = 16, julat = 35.

Semak kefahaman. Data 4, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 26, 30, 34, 38, 41. Nyatakan lima nilai untuk plot kotak.

Tunjuk jawapan

15 data, median ialah data ke-8 = 20. Separuh bawah (7 data): Q₁ = data ke-4 = 12. Separuh atas: Q₃ = 30. Minimum 4, maksimum 41.

Kesan perubahan data terhadap serakan

Perubahan data merangkumi: (a) setiap data ditambah atau ditolak dengan suatu pemalar, (b) setiap data didarab atau dibahagi dengan suatu pemalar, (c) kewujudan pencilan, (d) suatu nilai dikeluarkan atau dimasukkan. (8.2.4)

Perubahan	Julat	Julat antara kuartil	Sisihan piawai	Varians
Setiap data ditambah atau ditolak dengan pemalar	Tidak berubah	Tidak berubah	Tidak berubah	Tidak berubah
Setiap data didarab dengan k	k × julat asal	k × julat antara kuartil asal	k × sisihan piawai asal	k² × varians asal
Setiap data dibahagi dengan k	julat asal ÷ k	julat antara kuartil asal ÷ k	sisihan piawai asal ÷ k	varians asal ÷ k²

Rangsangan Minda 3 dan 4, m.s. 228 hingga 229.

Pada plot titik, menambah 2 pada setiap cerapan menganjak seluruh plot 2 unit ke kanan dengan serakan tidak berubah (julat 15 − 8 = 7 menjadi 17 − 10 = 7). Mendarab dengan 2 menjadikan serakan dua kali ganda lebih lebar (julat 5 − 1 = 4 menjadi 10 − 2 = 8). Memasukkan pencilan (skor 9 kepada data 1 hingga 5) menjadikan julat 4 bertukar kepada 9 − 1 = 8 (m.s. 230 hingga 232).

Memasukkan atau mengeluarkan nilai. Julat berubah dengan mendadak apabila pencilan dikeluarkan atau dimasukkan. Julat antara kuartil kurang dipengaruhi. Varians dan sisihan piawai bertambah dengan banyak apabila pencilan dimasukkan. Jika nilai baharu hampir dengan min, sisihan piawai menjadi lebih kecil; jika nilai yang dikeluarkan hampir dengan min, sisihan piawai menjadi lebih besar (m.s. 229).

Contoh 13 (m.s. 233)

Set data 4, 6, 7, 7, 9, 11, 12, 12: min 8.5 dan sisihan piawai 2.784.
(a) 4 dikeluarkan: min = 9.143, sisihan piawai = 2.356 (nilai jauh daripada min dikeluarkan, maka sisihan piawai semakin kecil).
(b) 7 ditambah: min = 8.333, sisihan piawai = 2.668 (nilai dekat dengan min, maka semakin kecil).
(c) 18 ditambah: min = 9.556, sisihan piawai = 3.974 (nilai jauh daripada min, maka semakin besar).

Menambah 4 pada setiap data tidak mengubah sisihan piawai, tetapi mendarab dengan 4 mengubahnya empat kali ganda. Varians pula berubah 16 kali ganda, bukan 4 kali ganda.

Semak kefahaman. Julat antara kuartil dan sisihan piawai suatu set data ialah 6 dan 3.2. Setiap data ditambah 4. Apakah nilai baharunya?

Tunjuk jawapan

Tidak berubah: julat antara kuartil 6 dan sisihan piawai 3.2.

Membandingkan set data dan menyelesaikan masalah

Sukatan kecenderungan memusat mungkin tidak memberi maklumat yang mencukupi untuk perbandingan. Tentukan sukatan serakan yang sesuai, kemudian buat kesimpulan. (8.2.5)

Contoh 14 (m.s. 234 hingga 235)

Masa (jam) untuk menyiapkan kerja oleh 20 pekerja: 5, 6, 7, 8, 9 jam. Kilang A: kekerapan 3, 2, 9, 2, 4. Kilang B: kekerapan 1, 5, 7, 5, 2.
Kedua-duanya min = 7.1 jam. Sisihan piawai A = 1.261, B = 1.044. Pekerja Kilang B lebih cekap kerana sisihan piawai lebih kecil.

Contoh 15 (m.s. 236): menggabungkan dua kumpulan

Kumpulan A: 18 murid, min 52, varians 2.5. Kumpulan B: 12 murid, min 56, varians 1.8.
Daripada varians, Σx² = N(varians + min²): A: Σx = 18 × 52 = 936, Σx² = 18 × (2.5 + 2 704) = 48 717. B: Σx = 672, Σx² = 12 × (1.8 + 3 136) = 37 653.6.
Gabungan: Σx = 1 608, Σx² = 86 370.6, N = 30. Min = 53.6, varians = 86 370.6 ÷ 30 − 53.6² = 6.06, sisihan piawai = 2.462. (8.2.6)

Strategi menyelesaikan masalah: faham masalah, rancang strategi (cari Σx dan Σx² setiap kumpulan), laksana strategi, kemudian tulis kesimpulan.

What this chapter coversMatlamat bab ini

8.1Serakan

Plot batang-dan-daun

Plot titik

Membandingkan serakan dua set data

8.2Sukatan serakan

Julat

Kuartil dan julat antara kuartil

Daripada jadual kekerapan

Varians dan sisihan piawai

Kelebihan dan kekurangan sukatan serakan

Plot kotak

Kesan perubahan data terhadap serakan

Membandingkan set data dan menyelesaikan masalah

Peta konsep