Matematik notesnota, bab 9

Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), pageshalaman 242-269

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh memerihalkan peristiwa bergabung dan menyenaraikan peristiwa bergabung yang mungkin (9.1.1)
Saya boleh membezakan peristiwa bersandar dengan peristiwa tak bersandar (9.2.1)
Saya boleh membuat dan menentusahkan konjektur tentang rumus kebarangkalian peristiwa bergabung, iaitu Hukum Pendaraban Kebarangkalian P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (9.2.2)
Saya boleh menentukan kebarangkalian peristiwa bergabung bagi peristiwa bersandar dan peristiwa tak bersandar (9.2.3)
Saya boleh membezakan peristiwa saling eksklusif dengan peristiwa tidak saling eksklusif (9.3.1)
Saya boleh mengesahkan rumus kebarangkalian peristiwa bergabung bagi peristiwa saling eksklusif dan peristiwa tidak saling eksklusif (9.3.2)
Saya boleh menentukan kebarangkalian peristiwa bergabung bagi peristiwa saling eksklusif dan peristiwa tidak saling eksklusif (9.3.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian peristiwa bergabung (9.4.1)

9.1Peristiwa bergabung

Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua atau lebih peristiwa. Ruang sampel ialah set yang mengandungi semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu eksperimen.

Contohnya, ruang sampel bagi dua orang murid bermain "Gunting-Batu-Kertas" ialah {(G, B), (G, K), (G, G), (B, K), (B, B), (B, G), (K, B), (K, K), (K, G)}. "Salah seorang murid menunjukkan Gunting" ialah peristiwa bergabung yang kesudahannya {(G, B), (G, K), (B, G), (K, G), (G, G)}. Kesudahan ditulis sebagai pasangan tertib, misalnya (10, 20) ialah syiling 10 sen dipilih oleh murid pertama dan syiling 20 sen oleh murid kedua.

Bilangan kesudahan bagi dua peringkat: n(S) = n(A) × n(B). Murid pertama mempunyai 3 peluang dan murid kedua 2 peluang sahaja (kedua-dua murid tidak memilih syiling yang sama), maka 3 × 2 = 6 kesudahan dalam Rangsangan Minda 1.

Contoh 1 (buku teks m.s. 245): menulis ruang sampel

(a) Lima keping kad berlabel "T, E, K, U, N" dikeluarkan dua keping satu demi satu tanpa pemulangan: kad pertama ada 5 pilihan dan kad kedua 4 pilihan, maka 5 × 4 = 20 pasangan: (T, E), (T, K), (T, U), (T, N), (E, T), ... (N, U).
(b) Dua keping syiling dilambung (A = angka, G = gambar): {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}.

Kesilapan lazim: (G, A) dan (A, G) ialah dua kesudahan berlainan. Tulis pasangan mengikut tertib dan jangan tertinggal pasangan yang sama seperti (A, A).

Semak kefahaman. Sekeping syiling dilambung dan sekeping kad dipilih daripada kad berlabel 1, 2 dan 3. Tulis ruang sampel dan nyatakan n(S).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (G, 1), (G, 2), (G, 3)}. n(S) = 2 × 3 = 6.

9.2Peristiwa bersandar dan peristiwa tak bersandar

Dua peristiwa A dan B ialah peristiwa tak bersandar jika peristiwa A tidak mempengaruhi kejadian peristiwa B dan sebaliknya. Jika peristiwa A mempengaruhi kejadian peristiwa B, kedua-duanya ialah peristiwa bersandar.

Dalam Rangsangan Minda 2, kotak P mengandungi kad "R, U, A, N, G" (3 konsonan: R, N, G). Kes I (tanpa pemulangan): kebarangkalian kad konsonan kali pertama ialah 35 dan kali kedua 24 (jika kad pertama konsonan), iaitu berubah, maka peristiwa bersandar. Kes II (dengan pemulangan): kebarangkalian kali pertama dan kali kedua sama 35, maka peristiwa tak bersandar.

Keadaan	Jenis	Sebab
Dua kali lambung syiling; lambung syiling dan dadu	Tak bersandar	Kesudahan pertama tidak mengubah kebarangkalian kedua
Dua pen dikeluarkan satu demi satu tanpa pemulangan	Bersandar	Bilangan pen dalam bekas berkurang dan berubah
Dua kad dipilih satu demi satu dengan pemulangan	Tak bersandar	Kad dikembalikan, ruang sampel kekal sama

Pemulangan menjadikan peristiwa tak bersandar. Tanpa pemulangan menjadikan peristiwa bersandar.

Contoh 2 (m.s. 247): bersandar atau tak bersandar

(a) Dua kali lambung syiling adil mendapat angka: tak bersandar.
(b) Angka dalam lambungan syiling dan nombor 4 dalam lambungan dadu: tak bersandar.
(c) Dua pen merah dikeluarkan satu demi satu tanpa pemulangan daripada tiga pen merah dan dua pen biru: bersandar, kerana pen merah pertama mempengaruhi kebarangkalian pen merah kedua.
(d) Dua kad berhuruf sama daripada "B, A, I, K" dipilih satu demi satu dengan pemulangan: tak bersandar.

Hukum Pendaraban Kebarangkalian

Daripada Rangsangan Minda 3 (lambung dadu dan syiling, n(S) = 12), hasil darab kebarangkalian bagi dua peristiwa tak bersandar sama dengan kebarangkalian persilangannya. Contohnya, P(nombor genap) = 36, P(angka) = 12 dan P(nombor genap dan angka) = 312 = 14 = 12 × 12.

Hukum Pendaraban Kebarangkalian: bagi peristiwa tak bersandar A dan B, P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Bagi tiga peristiwa, P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B) × P(C).

Contoh 3 (m.s. 249): dua kaedah

Kotak F ada 7 kad "P, A, M, E, R, A, N" dan kotak G ada 5 kad "3, 5, 6, 8, 11". Sekeping kad dipilih dari setiap kotak. Cari kebarangkalian huruf "P" dan nombor genap.
Kaedah 1 (hukum pendaraban): P(P) = 17, P(genap) = 25. Maka P(P dan genap) = 17 × 25 = 235.
Kaedah 2 (senarai kesudahan): kesudahan = {(P, 6), (P, 8)}; n(S) = 7 × 5 = 35; kebarangkalian = 235. Kedua-dua kaedah memberi jawapan sama.

Contoh 4 (m.s. 250): peristiwa bergabung tak bersandar

Kotak A berkad "3, 5, 7, 9" dan kotak B berkad "X, Y, Z". Cari kebarangkalian faktor bagi 9 dan huruf "Z".
P(faktor bagi 9) = 24 (kad 3 dan 9), P("Z") = 13. Hasil darab = 24 × 13 = 16.
Kaedah alternatif: {(3, Z), (9, Z)}, n(S) = 4 × 3 = 12, maka 212 = 16.

Gambar rajah pokok bagi peristiwa bersandar

Gambar rajah pokok memaparkan semua kesudahan yang mungkin. Setiap cabang mewakili satu kesudahan, kebarangkalian ditulis pada cabang, dan kebarangkalian satu laluan ialah hasil darab kebarangkalian pada cabang-cabangnya. Kebarangkalian cabang kedua berubah apabila peristiwa bersandar.

Contoh 5 (m.s. 251): tanpa pemulangan

Sebuah beg mengandungi 8 biji guli hijau (H) dan sebiji guli merah (M). Dua biji guli dipilih satu demi satu tanpa pemulangan.

Gambar rajah pokok: guli pertama H 8/9 atau M 1/9. Selepas H: H 7/8, M 1/8. Selepas M: H 8/8, M 0 — Selepas guli merah dikeluarkan, hanya guli hijau yang tinggal (8 daripada 8).

(i) P(guli kedua merah) = 89 × 18 = 19. (ii) P(kedua-dua hijau) = 89 × 78 = 79.

Kesilapan lazim: menggunakan 89 untuk guli kedua walaupun guli pertama tidak dikembalikan. Tanpa pemulangan, penyebut dan pengangka kedua berubah.

Semak kefahaman. Sebuah kotak ada 3 kad merah dan 2 kad biru. Dua kad dikeluarkan satu demi satu (a) tanpa pemulangan, (b) dengan pemulangan. Cari kebarangkalian kedua-duanya merah.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

(a) Bersandar: 35 × 24 = 310. (b) Tak bersandar: 35 × 35 = 925.

9.3Peristiwa saling eksklusif dan peristiwa tidak saling eksklusif

Peristiwa A dan B ialah peristiwa saling eksklusif jika tiada persilangan antara keduanya, iaitu A ∩ B = ∅: kedua-duanya tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Jika A ∩ B ≠ ∅, kedua-duanya ialah peristiwa tidak saling eksklusif.

Contoh daripada bola pingpong berlabel 1 hingga 9: T = nombor genap {2, 4, 6, 8}, U = nombor kuasa dua sempurna {1, 4, 9}, V = faktor bagi 9 {1, 3, 9}. T dan V saling eksklusif (tiada nombor sepunya), tetapi T dan U tidak saling eksklusif kerana 4 ialah kesudahan sepunya. U dan V juga tidak saling eksklusif kerana 1 dan 9 sepunya.

Dua gambar rajah Venn: bulatan A dan B berasingan (saling eksklusif) dan bulatan bertindih dengan A ∩ B (tidak saling eksklusif) — Peristiwa saling eksklusif tiada kesudahan sepunya.

Contoh 6 (m.s. 254): pekerja dalam sebuah kilang

A = pekerja bergaji kurang daripada RM2 500; B = pekerja perlu membayar cukai pendapatan; C = pekerja pergi bekerja dengan menaiki kereta.
(a) A dan B tidak boleh berlaku bersama: saling eksklusif. (b) A dan C boleh berlaku bersama: tidak saling eksklusif. (c) B dan C boleh berlaku bersama: tidak saling eksklusif.

Kesilapan lazim: keliru antara saling eksklusif dengan tak bersandar. Saling eksklusif bermakna tidak boleh berlaku serentak; tak bersandar bermakna satu peristiwa tidak mengubah kebarangkalian yang lain.

Hukum Penambahan Kebarangkalian

Hukum Penambahan Kebarangkalian: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Jika A dan B saling eksklusif, P(A ∩ B) = 0, maka P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Dalam bahasa harian, P(A atau B) = P(A ∪ B) dan P(A dan B) = P(A ∩ B).

Kita tolak P(A ∩ B) kerana kesudahan sepunya dikira dua kali apabila P(A) dan P(B) ditambah.

Contoh 7 (m.s. 257): mengesahkan rumus dengan gambar rajah Venn

Set semesta ξ = {1, 2, ..., 9}. A = nombor genap {2, 4, 6, 8}, B = gandaan 5 {5}, C = nombor perdana {2, 3, 5, 7}.
(a) P(A ∪ B) = 59 (kesudahan 2, 4, 5, 6, 8). P(A) + P(B) = 49 + 19 = 59. A ∩ B = ∅ maka saling eksklusif dan rumus terbukti.
(b) P(A ∪ C) = 79. P(A) + P(C) − P(A ∩ C) = 49 + 49 − 19 = 79 (A ∩ C = {2}). Tidak saling eksklusif.

Contoh 8 (m.s. 257-258): kad berlabel 4 hingga 11

A = nombor lebih besar daripada 8 = {9, 10, 11}; B = nombor perdana = {5, 7, 11}; C = nombor genap = {4, 6, 8, 10}.

Peristiwa	Persilangan	Hukum	Hasil
A atau B	{11}, tidak saling eksklusif	38 + 38 − 18	58
A atau C	{10}, tidak saling eksklusif	38 + 48 − 18	68 = 34
B atau C	{ }, saling eksklusif	38 + 48	78

Menentukan kebarangkalian

Contoh 9 (m.s. 259): saling eksklusif

Lima kad berlabel "C, I, N, T, A". Cari kebarangkalian kad berhuruf konsonan atau "A". Konsonan = {C, N, T}, "A" = {A}, tiada persilangan: 35 + 15 = 45.

Contoh 10 (m.s. 259-260): gambar rajah Venn

Kebarangkalian Zalifah dan Maran makan cendol ialah 57 dan 35. Keduanya tak bersandar, maka P(kedua-duanya) = 57 × 35 = 37. Hanya Zalifah = 57 − 37 = 27; hanya Maran = 35 − 37 = 635. Tiada seorang pun = 1 − 3135 = 435.
P(Zalifah atau Maran) = 57 + 35 − 37 = 3135. Kaedah alternatif: 27 + 37 + 635 = 3135.

Contoh 11 (m.s. 260): jadual

	Tingkatan 3	Tingkatan 4	Tingkatan 5
Pengawas sekolah	15	24	26
Pengawas pusat sumber	20	19	16

Jumlah = 120. P(pengawas sekolah) = 65120, P(Tingkatan 3) = 35120, P(kedua-duanya) = 15120. Tidak saling eksklusif, maka P(pengawas sekolah atau Tingkatan 3) = 65120 + 35120 − 15120 = 85120 = 1724.

Semak kefahaman. Sebiji dadu adil dilambung. Cari kebarangkalian mendapat nombor genap atau nombor lebih besar daripada 4.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Genap {2, 4, 6}, lebih besar daripada 4 {5, 6}; persilangan {6}, maka tidak saling eksklusif. P = 36 + 26 − 16 = 46 = 23. Semakan: {2, 4, 5, 6} ada 4 daripada 6.

9.4Aplikasi kebarangkalian peristiwa bergabung

Dalam masalah, buku teks menggunakan empat langkah: memahami masalah (bersandar atau tak bersandar, saling eksklusif atau tidak), merancang strategi (lukis gambar rajah pokok, pilih hukum), melaksanakan strategi, dan membuat kesimpulan (dengan semak jawapan).

Contoh 12 (m.s. 262): sekurang-kurangnya satu

Sebiji dadu adil dilambung dua kali. Jika dijalankan 540 kali, berapa kali sekurang-kurangnya satu nombor kuasa dua sempurna (1, 4)?

Gambar rajah pokok: K 1/3 atau K' 2/3 pada kedua-dua lambungan — K = nombor kuasa dua sempurna; K' = bukan kuasa dua sempurna.

P(K) = 26 = 13, P(K') = 23. P(sekurang-kurangnya satu K) = 13 × 13 + 13 × 23 + 23 × 13 = 59. Bilangan kali = 59 × 540 = 300.
Semak jawapan: 1 − 23 × 23 = 59, 300 kali.

Peristiwa pelengkap: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Cara ini lebih pantas daripada menambah semua laluan.

Contoh 13 (m.s. 263): pemulangan bersyarat

Sebuah kotak ada 7 guli merah, 5 kuning dan 3 biru. Dua guli dipilih satu demi satu. Jika guli pertama biru, guli itu dikembalikan; jika bukan biru, guli itu tidak dikembalikan. Cari kebarangkalian kedua-dua guli berlainan warna.
Kebarangkalian sama warna: MM 715 × 614 = 15; KK 515 × 414 = 221; BB 315 × 315 = 125. Jumlah = 176525.
Kebarangkalian berlainan warna = 1 − 176525 = 349525, sama dengan menambah enam laluan secara langsung.

Semak kefahaman. Sebiji dadu adil dilambung dua kali. Jika eksperimen diulang 360 kali, anggarkan bilangan kali sekurang-kurangnya satu "6" diperoleh.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

P(tiada "6") = 56 × 56 = 2536. P(sekurang-kurangnya satu "6") = 1 − 2536 = 1136. Bilangan kali = 1136 × 360 = 110.

Peta konsep dan ringkasan

Peta konsep Kebarangkalian Peristiwa Bergabung: bersandar dan tak bersandar, saling eksklusif dan tidak saling eksklusif, aplikasi — Peta konsep bab ini.

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 4 (KSSM), m.s. 268.

Jenis peristiwa	Syarat	Rumus
Tak bersandar	A tidak mempengaruhi B	P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Bersandar	A mempengaruhi B (tanpa pemulangan)	Darab dengan kebarangkalian kedua yang telah berubah
Saling eksklusif	A ∩ B = ∅	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Tidak saling eksklusif	A ∩ B ≠ ∅	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Semak jawapan: kebarangkalian sentiasa antara 0 dengan 1 dan jumlah semua kesudahan ialah 1. Kata "dan" biasanya bermaksud darab (peristiwa tak bersandar), kata "atau" bermaksud tambah.