Matematik Tambahan notesnota, bab 2

Pembezaan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 28–79

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menentukan nilai had suatu fungsi dengan penggantian langsung, pemfaktoran dan merasionalkan pengangka atau penyebut (2.1.1)
Saya boleh mencari terbitan pertama dengan prinsip pertama dan menghubungkannya dengan kecerunan tangen (2.1.2)
Saya boleh menerbitkan dan menggunakan rumus terbitan pertama bagi y = axⁿ (2.2.1)
Saya boleh membezakan fungsi algebra sebutan demi sebutan (2.2.2)
Saya boleh membezakan fungsi gubahan dengan petua rantai (2.2.3)
Saya boleh membezakan hasil darab dan hasil bahagi ungkapan algebra dengan petua hasil darab dan petua hasil bahagi (2.2.4)
Saya boleh mencari terbitan kedua bagi fungsi algebra (2.3.1)
Saya boleh menentukan kecerunan tangen pada titik yang berlainan dan menerangkan keadaannya (2.4.1)
Saya boleh mencari persamaan tangen dan normal kepada lengkung pada suatu titik (2.4.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen dan normal (2.4.3)
Saya boleh mencari titik pusingan dan menentukan sama ada titik maksimum, minimum atau titik lengkok balas (2.4.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah nilai maksimum dan nilai minimum serta mentafsir penyelesaian (2.4.5)
Saya boleh menentukan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung dengan petua rantai (2.4.6, 2.4.7)
Saya boleh mencari perubahan kecil, nilai hampir dan peratus perubahan, serta menyelesaikan masalah penghampiran (2.4.8, 2.4.9)

2.1Had dan hubungannya dengan pembezaan

Had suatu fungsi (2.1.1)

Had. Jika f(x) menghampiri nombor L apabila x menghampiri a dengan keadaan x ≠ a, kita tulis had_x→a f(x) = L. Had ialah nilai yang dihampiri oleh fungsi itu; f(a) sendiri tidak perlu wujud.

Aktiviti Penerokaan 1 (m.s. 30): f(x) = x² + 3xx tidak boleh dinilai pada x = 0 kerana menghasilkan bentuk tak tentu 00. Namun apabila x menghampiri 0 dari kiri atau kanan, nilai f(x) menghampiri 3 (2.9, 2.99, 2.999 … dan 3.001, 3.01, 3.1). Maka had_x→0 f(x) = 3.

Graf garis lurus y = x + 3 dengan bulatan kosong pada titik (0, 3) kerana f(0) tidak tertakrif — Graf f(x) = x + 3 untuk x ≠ 0: terdapat “lubang” pada (0, 3), tetapi had apabila x → 0 ialah 3.

Bentuk had_x→a f(x)	Apa yang perlu dilakukan
f(a) ialah nombor tentu (bukan 00)	Penggantian langsung: had = f(a)
00, ungkapan polinomial	Pemfaktoran, hapuskan faktor sepunya, kemudian gantikan
00, ada punca kuasa dua	Rasionalkan pengangka atau penyebut dengan konjugat, ringkaskan, kemudian gantikan

Contoh (kaedah Contoh 1, m.s. 32): cari setiap had

(a) had_x→2 x² − 5x + 6x − 2: gantian langsung memberi 00. Faktorkan: (x − 2)(x − 3)x − 2 = x − 3, maka had = 2 − 3 = −1.
(b) had_x→0 √(x + 9) − 3x: darabkan dengan konjugat √(x + 9) + 3√(x + 9) + 3. Pengangka menjadi (x + 9) − 9 = x yang dihapuskan dengan x, tinggal 1√(x + 9) + 3. Pada x = 0, nilainya 16. Had ialah 16.

Jangan tulis had_x→a f(x) = 00. Bentuk 00 hanya bermaksud “belum dapat ditentukan”: ringkaskan dahulu, kemudian gantikan.

Cari had_x→5 x² − 25x − 5.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

(x − 5)(x + 5)x − 5 = x + 5. Apabila x → 5, had = 10.

Ingat juga: had boleh wujud walaupun f(a) tidak tertakrif. Pada graf, titik di x = a mungkin tiada (bulatan kosong), tetapi had ialah nilai y yang dihampiri dari kiri dan kanan (Contoh 2, m.s. 33).

Pembezaan dengan prinsip pertama (2.1.2)

Kecerunan lengkung di suatu titik ialah kecerunan tangen di titik itu. Ambil titik B(x, y) dan titik berhampiran C(x + δx, y + δy) pada lengkung. Kecerunan garis BC = δyδx. Apabila C menghampiri B, δx → 0 dan garis BC menjadi tangen di B (Aktiviti Penerokaan 2, m.s. 34).

Lengkung y = x kuasa dua dengan titik B(3, 9), titik C(4, 16), garis BC berkecerunan 7 dan tangen di B berkecerunan 6 — Apabila C menghampiri B pada y = x², kecerunan garis BC (7 bagi C(4, 16)) menghampiri kecerunan tangen (6).

Terbitan pertama dengan prinsip pertama: dydx = had_δx→0 δyδx = had_δx→0 f(x + δx) − f(x)δx. Ia ialah fungsi kecerunan tangen bagi lengkung itu. Simbol δ dibaca “delta” dan mewakili tokokan kecil.

Empat langkah (Tip Pintar, m.s. 36): (1) ambil dua titik A(x, y) dan B(x + δx, y + δy); (2) cari δy = f(x + δx) − f(x); (3) dapatkan nisbah δyδx; (4) ambil had apabila δx → 0.

Contoh (kaedah Contoh 3, m.s. 36): y = 4x² − x

δy = 4(x + δx)² − (x + δx) − (4x² − x) = 8x·δx + 4(δx)² − δx
δyδx = 8x + 4δx − 1
dydx = had_δx→0 (8x + 4δx − 1) = 8x − 1

Contoh 3 dalam buku memberi pola: y = 3x → 3; y = 3x² → 6x; y = 3x³ → 9x². Pola ini membawa kepada rumus am dalam 2.2.1.

dydx ialah satu simbol bagi had. Ia bukan “dy dibahagi dengan dx” dan huruf d tidak boleh dihapuskan.

Dengan prinsip pertama, cari dydx bagi y = 3x² − 2x.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

δy = 3(x + δx)² − 2(x + δx) − (3x² − 2x) = 6x·δx + 3(δx)² − 2δx. δyδx = 6x + 3δx − 2. Apabila δx → 0, dydx = 6x − 2.

2.2Pembezaan peringkat pertama

Rumus bagi y = axⁿ (2.2.1 dan 2.2.2)

Petua kuasa. Jika y = axⁿ dengan a ialah pemalar dan n ialah integer atau pecahan, maka dydx = anxⁿ⁻¹. Tatatanda lain: f′(x) dan ddx(axⁿ). Proses mencari terbitan ini dipanggil pembezaan; f′(x) juga disebut fungsi kecerunan, fungsi terbitan atau pekali pembezaan y terhadap x.

Fungsi	Terbitan	Sebab
y = c (pemalar)	0	n = 0
y = ax	a	n = 1
y = 5x³	15x²	5 × 3 · x³⁻¹
y = 3x² = 3x⁻²	−6x⁻³ = −6x³	Tulis sebagai kuasa dahulu
y = √x = x^1/2	12x^−1/2 = 12√x	Kuasa pecahan

Aktiviti Penerokaan 3 (m.s. 38 hingga 39) membandingkan graf f(x) dengan graf f′(x): bagi f(x) = x, f′(x) = 1 ialah garis mengufuk; bagi f(x) = x², f′(x) = 2x ialah garis lurus; bagi f(x) = x³, f′(x) = 3x² ialah parabola. Darjah fungsi kecerunan sentiasa satu kurang daripada darjah fungsi asal.

Tulis punca kuasa dua dan pecahan sebagai kuasa x sebelum membezakan. Sebutan yang ditambah atau ditolak dibezakan satu demi satu: ddx[f(x) ± g(x)] = ddx[f(x)] ± ddx[g(x)].

Contoh (kaedah Contoh 4 hingga 6, m.s. 40 hingga 41): bezakan y = 2x⁴ − 6x + 5√x − 9

y = 2x⁴ − 6x⁻¹ + 5x^1/2 − 9
dydx = 8x³ + 6x⁻² + 52x^−1/2 = 8x³ + 6x² + 52√x

x⁻² tidak sama dengan −x². Terbitan pemalar seperti 9 ialah 0, bukan 9.

Untuk mencari kecerunan pada titik tertentu, cari fungsi kecerunan dahulu, kemudian gantikan nilai x (Contoh 5). Misalnya bagi y = 2x³, fungsi kecerunan ialah 6x², dan kecerunan di (1, 2) ialah 6.

Bezakan y = 5x³ − 4x terhadap x dan cari nilai dydx apabila x = 1.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

y = 5x³ − 4x⁻¹, dydx = 15x² + 4x⁻² = 15x² + 4x². Apabila x = 1: 15 + 4 = 19.

Petua rantai (2.2.3)

Untuk y = (2x + 3)⁴, pengembangan sangat panjang. Anggap fungsi itu sebagai fungsi gubahan: y = g(u) dan u = h(x). Aktiviti Penerokaan 4 (m.s. 42) menunjukkan bahawa kaedah ini lebih mudah.

Petua rantai. Jika y ialah fungsi bagi u dan u ialah fungsi bagi x, maka dydx = dydu × dudx. Bagi y = uⁿ dengan u fungsi bagi x: ddx(uⁿ) = nuⁿ⁻¹ dudx.

Contoh (kaedah Contoh 7, m.s. 43): y = (5 − 2x)⁴ dan y = 1√(3x + 1)

Katakan u = 5 − 2x. dydu = 4u³ dan dudx = −2, maka dydx = 4(5 − 2x)³ × (−2) = −8(5 − 2x)³.
y = (3x + 1)^−1/2, maka dydx = −12(3x + 1)^−3/2 × 3 = −32(3x + 1)^3/2.

Selepas membezakan kurungan, jangan lupa darabkan dengan terbitan bagi ungkapan di dalam kurungan itu.

Bezakan y = (4 − 3x)⁶ terhadap x.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

u = 4 − 3x, dudx = −3. dydx = 6u⁵ × (−3) = −18(4 − 3x)⁵.

Petua hasil darab dan petua hasil bahagi (2.2.4)

Petua	Rumus (u dan v ialah fungsi bagi x, v ≠ 0 untuk hasil bahagi)
Hasil darab	ddx(uv) = udvdx + vdudx
Hasil bahagi	ddx(uv) = vdudx − udvdxv²

Sebut petua hasil bahagi: “bawah darab terbitan atas, tolak atas darab terbitan bawah, dibahagi bawah kuasa dua”. Susunan penolakan penting.

Bagi dua ungkapan yang tidak boleh dikembangkan, misalnya (x² + 1)√(x − 4), petua hasil darab ialah kaedah yang sesuai (Aktiviti Penerokaan 5, m.s. 44). Hasil bahagi juga boleh ditulis sebagai hasil darab, misalnya x(x − 1)⁻² (Aktiviti Penerokaan 6, m.s. 45).

Contoh (kaedah Contoh 8 hingga 10, m.s. 45 hingga 47)

(a) y = x³(2x − 1)⁴. u = x³ dan v = (2x − 1)⁴: dydx = x³ · 8(2x − 1)³ + (2x − 1)⁴ · 3x² = x²(2x − 1)³[8x + 3(2x − 1)] = x²(2x − 1)³(14x − 3).
(b) y = xx² + 4. dydx = (x² + 4)(1) − x(2x)(x² + 4)² = 4 − x²(x² + 4)².

Cari dydx bagi y = 3xx + 2 dan nilainya apabila x = 1.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

dydx = (x + 2)(3) − 3x(1)(x + 2)² = 6(x + 2)². Apabila x = 1: 69 = 23.

2.3Pembezaan peringkat kedua

Terbitan kedua. Bezakan dydx sekali lagi terhadap x: d²ydx² = ddx(dydx), juga ditulis f″(x) = ddx[f′(x)]. Contohnya, fungsi kubik menghasilkan fungsi kuadratik pada terbitan pertama dan fungsi linear pada terbitan kedua (2.3.1, m.s. 49).

Contoh (kaedah Contoh 11, m.s. 49): y = x³ + 8x

y = x³ + 8x⁻¹
dydx = 3x² − 8x⁻²
d²ydx² = 6x + 16x⁻³ = 6x + 16x³. Pada x = 2, nilainya 12 + 2 = 14.

d²ydx² bukan (dydx)². Bagi y = 5x − 3, dydx = 5 maka (dydx)² = 25, tetapi d²ydx² = 0 (Contoh 12, m.s. 50).

Diberi y = 2x³ + 6x, cari d²ydx² apabila x = 1.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

dydx = 6x² − 6x⁻², d²ydx² = 12x + 12x⁻³. Apabila x = 1: 12 + 12 = 24.

2.4Aplikasi pembezaan

Kecerunan tangen pada titik berlainan (2.4.1)

Fungsi kecerunan f′(x) memberi kecerunan tangen di mana-mana titik. Misalnya bagi f(x) = x², f′(x) = 2x: kecerunan ialah −4 di x = −2, 0 di x = 0 dan 4 di x = 2 (m.s. 51).

Jika f′(a) ialah	Tangen pada x = a
negatif (f′(a) < 0)	condong ke kiri; lengkung menurun
sifar (f′(a) = 0)	mengufuk; titik pegun
positif (f′(a) > 0)	condong ke kanan; lengkung menaik

Contoh (kaedah Contoh 13, m.s. 52): y = x³ − 3x

dydx = 3x² − 3. Di x = −2: 9 (positif, condong ke kanan). Di x = 0: −3 (negatif, condong ke kiri). Di x = 1: 0 (mengufuk).

Persamaan tangen dan normal (2.4.2)

Tangen dan normal di P(a, f(a)). Tangen: y − f(a) = f′(a)(x − a). Normal berserenjang dengan tangen, maka kecerunannya ialah −1f′(a) (m₁m₂ = −1) dan persamaannya y − f(a) = −1f′(a)(x − a), dengan syarat f′(a) wujud dan bukan sifar.

Contoh (Contoh 14, m.s. 53): f(x) = x³ − 2x² + 5 pada P(2, 5)

f′(x) = 3x² − 4x, maka f′(2) = 12 − 8 = 4.
Tangen: y − 5 = 4(x − 2), iaitu y = 4x − 3.
Kecerunan normal ialah −14: y − 5 = −14(x − 2), iaitu 4y + x = 22.

Lengkung y = x kuasa tiga tolak 2x kuasa dua tambah 5 dengan tangen y = 4x tolak 3 dan normal x + 4y = 22 bertemu di P(2, 5) — Tangen dan normal di P(2, 5) berserenjang antara satu sama lain.

Jika f′(a) = 0, tangen mengufuk dan normal ialah garis tegak x = a. Jangan membahagi dengan sifar.

Cari persamaan tangen kepada y = x² + 2x di titik x = 1.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

y = 3 pada x = 1. dydx = 2x + 2 = 4. Tangen: y − 3 = 4(x − 1), iaitu y = 4x − 1.

Masalah tangen dan normal (2.4.3)

Buku teks menggunakan empat langkah penyelesaian masalah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat refleksi (semak jawapan). Dalam Contoh 15 (m.s. 54 hingga 55), jalan raya y = 12x² − 2x + 2 dan Kumar tersasar di A mengikut tangen y = 2x − c.

Contoh (Contoh 15): cari A dan pemalar c

dydx = x − 2. Kecerunan tangen y = 2x − c ialah 2, maka x − 2 = 2 dan x = 4. y = 12(16) − 8 + 2 = 2, jadi A(4, 2).
A terletak pada tangen: 2 = 2(4) − c, maka c = 6. Refleksi: pada x = 4, y = 2(4) − 6 = 2, sepadan dengan A.

Titik pusingan dan sifatnya (2.4.4)

Titik pegun: titik pada lengkung dengan dydx = 0 (tangen mengufuk). Ada tiga jenis: titik maksimum, titik minimum dan titik lengkok balas. Titik maksimum dan titik minimum ialah titik pusingan; titik lengkok balas bukan titik pusingan.

Aktiviti Penerokaan 7 (m.s. 57) membandingkan tanda dydx di kiri dan kanan titik pegun.

Ujian	Maksimum	Minimum	Lengkok balas
Tanda dydx apabila x menokok melalui titik itu (lakaran tangen)	+ kepada −	− kepada +	tidak berubah tanda
Terbitan kedua di titik itu	d²ydx² < 0	d²ydx² > 0	d²ydx² = 0 (guna lakaran tangen)

Contoh (Contoh 16, m.s. 59): y = x³ − 3x² − 9x + 11

dydx = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3) = 0, maka x = −1 atau x = 3.
Apabila x = −1, y = 16. Apabila x = 3, y = −16.
d²ydx² = 6x − 6: di x = −1 nilainya −12 < 0 (maksimum); di x = 3 nilainya 12 > 0 (minimum).
Titik pusingan: (−1, 16) maksimum dan (3, −16) minimum.

Lengkung kubik dengan titik maksimum (−1, 16) dan titik minimum (3, −16) — Titik maksimum bukan semestinya titik tertinggi seluruh lengkung; ia tertinggi di kawasan kejiranannya sahaja.

Contoh (Contoh 17(b), m.s. 61 hingga 62): y = x⁴ − 4x³ + 1

dydx = 4x³ − 12x² = 4x²(x − 3) = 0, maka x = 0 atau x = 3. Titik pegun: (0, 1) dan (3, −26).
d²ydx² = 12x² − 24x. Di x = 3: 36 > 0, maka (3, −26) ialah titik minimum. Di x = 0: d²ydx² = 0, ujian ini tidak menentukan sifat titik itu.
Lakaran tangen: dydx ialah −0.124 di x = −0.1 dan −0.116 di x = 0.1. Kedua-duanya negatif, maka tiada perubahan tanda dan (0, 1) ialah titik lengkok balas.

Mencari x daripada dydx = 0 baru separuh kerja. Gantikan ke dalam persamaan asal untuk mendapat y, kemudian nyatakan sama ada maksimum, minimum atau lengkok balas.

Masalah nilai maksimum dan minimum (2.4.5)

Lukis rajah dan namakan pemboleh ubah.
Tulis kuantiti yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan, dan ungkapkan dalam satu pemboleh ubah dengan syarat yang diberi.
Selesaikan dLdj = 0 (atau terbitan yang sepadan).
Guna terbitan kedua untuk mengesahkan maksimum atau minimum, kemudian jawab dengan ayat lengkap dan unit.

Contoh (Contoh 18, m.s. 63 hingga 64): tin silinder berisi padu 512 cm³

Penutup atas dan bawah dipotong daripada dua keping aluminium segi empat sama bersisi 2j; permukaan melengkung ialah segi empat tepat 2πj × t. Isi padu: πj²t = 512, maka t = 512πj².
Jumlah luas kepingan: L = 2(2j)² + 2πjt = 8j² + 2πj512πj² = 8j² + 1 024j.
dLdj = 16j − 1 024j² = 0, maka j³ = 64 dan j = 4. d²Ldj² = 16 + 2 048j³ = 48 > 0 pada j = 4, jadi L minimum.
Minimum L = 8(16) + 256 = 384 cm² apabila j = 4 cm; tinggi t = 51216π ≈ 10.19 cm.

Graf L = 8j kuasa dua tambah 1024 per j, menurun ke minimum pada j = 4 dengan L = 384, kemudian menaik — Luas kepingan aluminium L menurun ke nilai minimum pada j = 4 cm dan menaik semula.

Hasil tambah dua nombor positif ialah 20. Cari nilai maksimum hasil darabnya.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

Nombor x dan 20 − x: P = 20x − x². dPdx = 20 − 2x = 0, x = 10. d²Pdx² = −2 < 0, maka maksimum. P = 10 × 10 = 100.

Kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung (2.4.6 dan 2.4.7)

Petua rantai untuk kadar. Jika y = f(x) dan x berubah dengan masa t, maka dydt = dydx × dxdt. Kadar negatif bermakna kuantiti itu menyusut; kadar positif bermakna kuantiti itu menokok.

Contoh dalam buku (m.s. 66): bagi y = x² + 1 dengan dxdt = 2 unit s⁻¹, dydt = 2x × 2 = 4x. Di x = 2, y menokok pada kadar 8 unit s⁻¹; di x = −2, kadar ialah −8 unit s⁻¹ iaitu y menyusut pada kadar 8 unit s⁻¹.

Hubungkan kuantiti dengan satu rumus dahulu (isi padu, luas, segi tiga serupa). Jika ada tiga pemboleh ubah, guna segi tiga serupa untuk menyingkirkan satu pemboleh ubah (Contoh 20, m.s. 68).

Contoh (kaedah Contoh 21, m.s. 69): belon sfera

Jejari belon bertambah pada kadar 0.5 cm s⁻¹. Cari kadar perubahan isi padu apabila j = 4 cm.
I = 43πj³, maka dIdj = 4πj². dIdt = 4π(16) × 0.5 = 32π ≈ 100.5 cm³ s⁻¹ (4 angka bererti).

Contoh (kaedah Contoh 20): bekas kon, segi tiga serupa

Air dituang ke dalam bekas berbentuk kon terbalik berjejari 4 cm dan tinggi 8 cm pada kadar 3π cm³ s⁻¹. Cari kadar perubahan kedalaman air apabila kedalamannya h = 4 cm.
Segi tiga serupa: rh = 48, maka r = h2. V = 13πr²h = 13πh²4h = πh³12.
dVdh = πh²4. dVdt = dVdh × dhdt, maka 3π = π(16)4 × dhdt dan dhdt = 0.75 cm s⁻¹.

Aktiviti Penerokaan 8 (m.s. 65) menunjukkan bahawa kedalaman air dalam silinder meningkat pada kadar malar (graf kedalaman-masa ialah garis lurus), tetapi dalam kon kadar itu berubah.

Sisi sebuah segi empat sama bertambah pada kadar 3 cm s⁻¹. Cari kadar perubahan luasnya apabila sisinya 5 cm.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

A = x², dAdx = 2x = 10. dAdt = 10 × 3 = 30 cm² s⁻¹.

Perubahan kecil dan penghampiran (2.4.8 dan 2.4.9)

Perubahan kecil. Jika δx kecil, δy ≈ dydx × δx. Maka nilai hampir f(x + δx) ≈ f(x) + dydxδx. Semakin kecil δx, semakin tepat penghampiran. Peratus perubahan dalam x ialah δxx × 100%.

Jika δy > 0 terdapat tokokan kecil dalam y; jika δy < 0 terdapat susutan kecil (m.s. 71). Perubahan hampir dalam y juga boleh dicari dengan kaedah penggantian, tetapi rumus ini lebih cepat.

Contoh (kaedah Contoh 22 hingga 24, m.s. 71 hingga 73)

(a) Nilai hampir √26. y = √x di x = 25: dydx = 12√x = 110, δx = 1, maka √26 ≈ 5 + 110(1) = 5.1.
(b) y = x² − 3x dan x = 4 bertambah 1%. δx = 0.04, dydx = 2x − 3 = 5, δy ≈ 5 × 0.04 = 0.2. y = 4, maka peratus perubahan dalam y = 0.24 × 100 = 5%.

Contoh (kaedah Contoh 25, m.s. 74): bola kaca

Jejari bola kaca bertambah daripada 3 cm kepada 3.02 cm. I = 43πj³, dIdj = 4πj² = 36π di j = 3, δj = 0.02, maka δI ≈ 36π × 0.02 = 2.262 cm³. Perubahan sebenar ialah 2.277 cm³, hampir sama kerana δj kecil.

Rumus hanya sesuai untuk δx yang kecil. Semak juga tandanya: δy positif ialah tokokan, δy negatif ialah susutan.

Diberi y = x³, cari perubahan hampir dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.01.

Tunjuk jawapanSorok jawapan

dydx = 3x² = 12 di x = 2, δx = 0.01, maka δy ≈ 12 × 0.01 = 0.12.

Sudut refleksi dan Eksplorasi Matematik (m.s. 76 hingga 79)

Dua ujian untuk titik pusingan. Ujian lakaran tangen sentiasa boleh digunakan, termasuk apabila d²ydx² = 0, tetapi memerlukan jadual tanda di kiri dan kanan titik. Ujian terbitan kedua lebih cepat apabila d²ydx² ≠ 0, tetapi tidak dapat membezakan jenis titik apabila d²ydx² = 0.

Eksplorasi Matematik (m.s. 79): tin minuman berisi padu 550 cm³

Bagi silinder: πr²h = 550, maka h = 550πr² dan jumlah luas permukaan A = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1 100r.
dAdr = 4πr − 1 100r² = 0, maka r³ = 275π dan r ≈ 4.440 cm, h ≈ 8.880 cm. d²Adr² = 4π + 2 200r³ > 0, jadi A minimum.
Luas minimum ≈ 371.6 cm². Perhatikan h = 2r: silinder dengan luas permukaan minimum mempunyai tinggi sama dengan diameternya. Cuba bandingkan dengan kuboid atau prisma anda sendiri.

Ringkasan

Ingat	Fakta utama
Had	Gantikan; jika 00, faktorkan atau guna konjugat
Prinsip pertama	dydx = had_δx→0 f(x + δx) − f(x)δx
Petua kuasa	ddx(axⁿ) = anxⁿ⁻¹
Petua rantai	dydx = dydu × dudx
Hasil darab / hasil bahagi	udvdx + vdudx ; vdudx − udvdxv²
Terbitan kedua	d²ydx² = ddx(dydx)
Tangen dan normal	y − f(a) = f′(a)(x − a); kecerunan normal = −1f′(a)
Titik pusingan	dydx = 0; d²ydx² < 0 maksimum, d²ydx² > 0 minimum
Kadar terhubung	dydt = dydx × dxdt
Perubahan kecil	δy ≈ dydx × δx; f(x + δx) ≈ f(x) + dydxδx

Kandungan dan kaedah mengikut buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), Bab 2 Pembezaan, m.s. 28 hingga 79; contoh menggunakan nombor sendiri atau dikira semula.