Matematik Tambahan questionssoalan, bab 2

NameNamaClassKelasDateTarikh

Pembezaan

45 marksmarkah. Gunakan mod Latihan untuk menyemak setiap jawapan semasa menjawab, atau mod Peperiksaan untuk menjawab semua dahulu. Tunjukkan langkah kerja bagi Bahagian B.

Bahagian A: soalan objektif

11 marksmarkah

Pilih jawapan yang betul. Setiap soalan 1 markah.

QuestionSoalan 1

Nilai had_x→5 x² − 25x − 5 ialah

0
5
Tidak wujud
10

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Penggantian langsung memberi 00, maka faktorkan: (x − 5)(x + 5)x − 5 = x + 5. Apabila x → 5, had = 10. Had wujud walaupun ungkapan itu tidak tertakrif di x = 5.

For the teacherUntuk guru: RememberingMengingat, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.1

TextbookBuku teks p.ms. 31

QuestionSoalan 2

Kecerunan tangen kepada lengkung y = f(x) pada sebarang titik (x, y) diberi oleh

had_δx→0 δyδx
δyδx
δy × δx
had_x→0 f(x)

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Kecerunan garis BC ialah δyδx. Apabila C menghampiri B, δx → 0 dan garis BC menjadi tangen, maka kecerunan tangen = had_δx→0 δyδx = dydx. δyδx sahaja ialah kecerunan garis BC (garis yang menyambung dua titik pada lengkung).

For the teacherUntuk guru: RememberingMengingat, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.2

TextbookBuku teks p.ms. 35

QuestionSoalan 3

Bezakan y = 5x³ − 4x terhadap x.

15x² − 4x²
15x² + 4x²
15x² + 4x
5x² + 4x²

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

y = 5x³ − 4x⁻¹, maka dydx = 15x² − 4(−1)x⁻² = 15x² + 4x⁻². Pilihan A terhasil jika tanda tolak dan kuasa negatif tidak digabungkan; pilihan D tidak mendarabkan pekali 5 dengan kuasa 3.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.2.2

TextbookBuku teks p.ms. 40

QuestionSoalan 4

Bezakan y = (4 − 3x)⁶ terhadap x.

6(4 − 3x)⁵
−3(4 − 3x)⁵
−18(4 − 3x)⁵
−18(4 − 3x)⁶

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Petua rantai: u = 4 − 3x, dudx = −3 dan dydu = 6u⁵. Maka dydx = 6(4 − 3x)⁵ × (−3) = −18(4 − 3x)⁵. Pilihan A terlupa darabkan dengan terbitan kurungan.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.2.3

TextbookBuku teks p.ms. 43

QuestionSoalan 5

Diberi y = x³(x − 2)⁴. Cari dydx.

x²(x − 2)³(7x − 6)
x²(x − 2)³(7x + 6)
3x²(x − 2)⁴
12x²(x − 2)³

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Petua hasil darab: u = x³, v = (x − 2)⁴. dydx = x³ · 4(x − 2)³ + (x − 2)⁴ · 3x² = x²(x − 2)³[4x + 3(x − 2)] = x²(x − 2)³(7x − 6).

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.2.4

TextbookBuku teks p.ms. 45

QuestionSoalan 6

Cari kecerunan lengkung y = 2x + 1x − 3 di titik x = 4.

−9
−7
7
9

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Petua hasil bahagi: dydx = (x − 3)(2) − (2x + 1)(1)(x − 3)² = −7(x − 3)². Di x = 4: −71 = −7. Jawapan 9 ialah nilai y di x = 4 dan 7 terhasil jika susunan penolakan ditukar.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.2.4

TextbookBuku teks p.ms. 46

QuestionSoalan 7

Diberi y = 2x³ + 6x. Nilai d²ydx² apabila x = 1 ialah

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydx = 6x² − 6x⁻² dan d²ydx² = 12x + 12x⁻³. Di x = 1: 12 + 12 = 24. Nilai 0 ialah terbitan pertama pada x = 1.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.3.1

TextbookBuku teks p.ms. 49

QuestionSoalan 8

Persamaan normal kepada lengkung y = x² + 2x di titik x = 1 ialah

y = 4x − 1
y + 4x = 7
4y − x = 11
4y + x = 13

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Di x = 1, y = 3 dan dydx = 2x + 2 = 4. Kecerunan normal ialah −14: y − 3 = −14(x − 1), iaitu 4y + x = 13. Pilihan A ialah tangen; pilihan B menggunakan kecerunan −4; pilihan C menggunakan kecerunan 14.

For the teacherUntuk guru: UnderstandingMemahami, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.4.2

TextbookBuku teks p.ms. 53

QuestionSoalan 9

Titik pegun (0, 1) pada lengkung y = x⁴ − 4x³ + 1 ialah titik lengkok balas kerana

dydx negatif di kiri dan kanan x = 0, iaitu tidak berubah tanda
d²ydx² = 0 di x = 0, maka titik itu mesti titik lengkok balas
dydx berubah daripada positif kepada negatif apabila x menokok melalui 0
dydx berubah daripada negatif kepada positif apabila x menokok melalui 0

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydx = 4x²(x − 3) negatif di x = −0.1 dan x = 0.1, jadi tiada perubahan tanda. d²ydx² = 0 di x = 0 hanya bermakna ujian terbitan kedua tidak memberi keputusan; ia tidak membuktikan titik lengkok balas.

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.4.4

TextbookBuku teks p.ms. 61

QuestionSoalan 10

Diberi y = 2x³ dan x menokok pada kadar 0.5 unit s⁻¹. Kadar perubahan y apabila x = 2 ialah

12 unit s⁻¹
6 unit s⁻¹
24 unit s⁻¹
48 unit s⁻¹

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydt = dydx × dxdt = 6x² × 0.5. Di x = 2: 6(4) × 0.5 = 12. Nilai 24 ialah dydx sahaja, tanpa dxdt.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.4.6

TextbookBuku teks p.ms. 66

QuestionSoalan 11

Diberi y = 2x³. Cari perubahan hampir dalam y apabila x menokok daripada 3 kepada 3.01.

0.06
0.27
0.54
54

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydx = 6x² = 54 di x = 3 dan δx = 0.01, maka δy ≈ 54 × 0.01 = 0.54. Nilai 0.27 menggunakan 3x² dan 54 terlupa darabkan dengan δx.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.4.8

TextbookBuku teks p.ms. 71

Bahagian B: soalan berstruktur

34 marksmarkah

Jawab semua soalan. Tunjukkan langkah kerja.

QuestionSoalan 12

Tentukan nilai had bagi setiap fungsi yang berikut.

[2 marksmarkah] (a)had_x→3 x² − 5x + 6x − 3

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2), hapuskan faktor sepunya (x − 3) [1]1
had = 3 − 2 = 1 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)had_x→5 x − 5√(x + 4) − 3

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Darabkan dengan konjugat √(x + 4) + 3; penyebut menjadi (x + 4) − 9 = x − 5 [1]1
Selepas menghapuskan x − 5, had = √9 + 3 = 6 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.1.1

TextbookBuku teks p.ms. 32

QuestionSoalan 13

Suatu lengkung mempunyai persamaan y = 3x² − 2x.

[2 marksmarkah] (a)Dengan prinsip pertama, cari dydx.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

δy = 3(x + δx)² − 2(x + δx) − (3x² − 2x) = 6x·δx + 3(δx)² − 2δx, maka δyδx = 6x + 3δx − 2 [1]1
dydx = had_δx→0 (6x + 3δx − 2) = 6x − 2 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (b)Cari kecerunan tangen kepada lengkung itu di x = −1.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

6(−1) − 2 = −8 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: UnderstandingMemahami, lowrendah difficultyaras lowrendah, standard 2.1.2

TextbookBuku teks p.ms. 36

QuestionSoalan 14

Suatu lengkung mempunyai persamaan y = x³ − 3x² + 2 dan melalui titik P(3, 2).

[1 markmarkah] (a)Cari kecerunan tangen di P.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydx = 3x² − 6x; di x = 3, kecerunan = 27 − 18 = 9 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (b)Cari persamaan tangen di P.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

y − 2 = 9(x − 3), iaitu y = 9x − 25 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (c)Cari persamaan normal di P.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Kecerunan normal = −19 [1]1
y − 2 = −19(x − 3), iaitu 9y + x = 21 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.4.2

TextbookBuku teks p.ms. 53

QuestionSoalan 15

Rajah 1 menunjukkan lengkung y = 2x³ − 9x² + 12x dengan dua titik pusingan P dan Q.

Lengkung kubik y = 2x kuasa tiga tolak 9x kuasa dua tambah 12x dengan titik pusingan P di sebelah kiri dan titik pusingan Q di sebelah kanan P — Rajah 1

[3 marksmarkah] (a)Cari koordinat P dan koordinat Q.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 [1]1
x = 1 dan x = 2 [1]1
P(1, 5) dan Q(2, 4) [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Dengan menggunakan terbitan kedua, tentukan sama ada P dan Q ialah titik maksimum atau titik minimum.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

d²ydx² = 12x − 18 [1]1
Di x = 1: −6 < 0, P titik maksimum; di x = 2: 6 > 0, Q titik minimum [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: AnalysingMenganalisis, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.4.4

TextbookBuku teks p.ms. 59

QuestionSoalan 16

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) bertapak segi empat sama bersisi x cm dan tinggi h cm diperbuat daripada kadbod seluas 108 cm².

[2 marksmarkah] (a)Tunjukkan bahawa isi padu kotak, V cm³, diberi oleh V = 14(108x − x³).

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Luas = x² + 4xh = 108, maka h = 108 − x²4x [1]1
V = x²h = x² × 108 − x²4x = 14(108x − x³) [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[3 marksmarkah] (b)Cari nilai x supaya V maksimum, dan sahkan bahawa V maksimum.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dVdx = 14(108 − 3x²) = 0 [1]1
x² = 36, x = 6 [1]1
d²Vdx² = −6x4 < 0 di x = 6 (= −9), maka V maksimum [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (c)Cari isi padu maksimum kotak itu.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

V = 14(648 − 216) = 108 cm³ [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.4.5

TextbookBuku teks p.ms. 63

QuestionSoalan 17

Jejari sebiji belon sfera bertambah pada kadar tetap 0.4 cm s⁻¹. Isi padu sfera V = 43πj³ dan luas permukaannya S = 4πj².

[2 marksmarkah] (a)Cari kadar perubahan isi padu apabila j = 5 cm, betul kepada 4 angka bererti.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dVdj = 4πj² dan dVdt = dVdj × djdt [1]1
4π(25)(0.4) = 40π ≈ 125.7 cm³ s⁻¹ [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Cari kadar perubahan luas permukaan apabila j = 5 cm, betul kepada 4 angka bererti.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dSdj = 8πj dan dSdt = dSdj × djdt [1]1
8π(5)(0.4) = 16π ≈ 50.27 cm² s⁻¹ [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.4.7

TextbookBuku teks p.ms. 69

QuestionSoalan 18

Gunakan konsep perubahan kecil dan penghampiran untuk menjawab soalan yang berikut.

[2 marksmarkah] (a)Diberi y = √x, cari nilai hampir bagi √16.08.

Auto-checked: type a short answerSemakan automatik: taip jawapan pendek

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

x = 16, δx = 0.08, dydx = 12√x = 18 [1]1
√16.08 ≈ 4 + 18(0.08) = 4.01 [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Diberi y = x³ − 2x. Apabila x = 3, x bertambah 2%. Cari peratus perubahan hampir dalam y.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

δx = 0.06 dan dydx = 3x² − 2 = 25, maka δy ≈ 25 × 0.06 = 1.5 [1]1
y = 21, peratus perubahan = 1.521 × 100 ≈ 7.14% [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: ApplyingMengaplikasi, mediumsederhana difficultyaras mediumsederhana, standard 2.4.8

TextbookBuku teks p.ms. 72

QuestionSoalan 19

Aman berkata, “Semua titik pegun ialah titik pusingan.” Selidik dakwaan Aman dengan lengkung y = x³ − 3x² + 3x.

[1 markmarkah] (a)Cari koordinat titik pegun lengkung itu.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

dydx = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² = 0, x = 1 dan y = 1; titik pegun (1, 1) [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[2 marksmarkah] (b)Tunjukkan bahawa d²ydx² = 0 di titik itu, kemudian gunakan tanda dydx di x = 0.9 dan x = 1.1 untuk menentukan sifat titik itu.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

d²ydx² = 6x − 6 = 0 di x = 1, jadi ujian terbitan kedua tidak memberi keputusan [1]1
dydx = 0.03 di x = 0.9 dan 0.03 di x = 1.1; kedua-duanya positif, tiada perubahan tanda, maka (1, 1) ialah titik lengkok balas [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

[1 markmarkah] (c)Adakah dakwaan Aman betul? Beri satu sebab.

You mark this one: open Show answerAnda tanda sendiri: buka Tunjuk jawapan

Show answerTunjuk jawapanHide answerSembunyi jawapan

Tidak betul; (1, 1) ialah titik pegun tetapi titik lengkok balas, bukan titik maksimum atau minimum, maka bukan titik pusingan [1]1

Tick each point you got.Tandakan setiap isi yang betul.

For the teacherUntuk guru: EvaluatingMenilai, hightinggi difficultyaras hightinggi, standard 2.4.4

TextbookBuku teks p.ms. 61

Back to notesKembali ke nota Bab 3 questionssoalan Model papersKertas model