Matematik Tambahan notesnota, bab 3
Pengamiran
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 80–117
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh menerangkan pengamiran sebagai songsangan pembezaan dan mencari kamiran daripada terbitan yang diberi (3.1.1)
- Saya boleh menentukan kamiran tak tentu bagi pemalar dan fungsi ax^n dengan rumus, serta menerbitkannya secara induktif (3.2.1)
- Saya boleh menentukan kamiran tak tentu bagi fungsi algebra, termasuk hasil tambah dan hasil tolak sebutan (3.2.2)
- Saya boleh menentukan kamiran tak tentu bagi fungsi berbentuk (ax + b)^n dengan kaedah penggantian (3.2.3)
- Saya boleh menentukan persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan dan satu titik pada lengkung (3.2.4)
- Saya boleh menentukan nilai kamiran tentu bagi fungsi algebra dan menggunakan sifat-sifatnya (3.3.1)
- Saya boleh menerangkan hubungan antara had hasil tambah luas segi empat tepat dengan luas di bawah lengkung (3.3.2)
- Saya boleh menentukan luas rantau antara lengkung dengan paksi-x, paksi-y, garis lurus atau lengkung lain (3.3.3)
- Saya boleh menerangkan hubungan antara had hasil tambah isi padu silinder dengan isi padu janaan (3.3.4)
- Saya boleh menentukan isi padu janaan apabila rantau dikisarkan 360 darjah pada paksi-x atau paksi-y (3.3.5)
- Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan pengamiran (3.4.1)
3Kata kunci Bab 3
| Bahasa Melayu | Bahasa Inggeris |
|---|---|
| Pembezaan | Differentiation |
| Pengamiran | Integration |
| Fungsi kecerunan | Gradient function |
| Persamaan lengkung | Equation of curve |
| Kamiran tak tentu | Indefinite integral |
| Kamiran tentu | Definite integral |
| Pengamiran melalui penggantian | Integration by substitution |
| Rantau | Region |
| Isi padu kisaran (isi padu janaan) | Volume of revolution |
Senarai kata kunci daripada buku teks m.s. 81.
3.1Pengamiran sebagai songsangan pembezaan
Pengamiran ialah proses songsangan bagi pembezaan. Jika d/dx [f(x)] = f′(x), maka kamiran bagi f′(x) terhadap x ialah ∫ f′(x) dx = f(x). Fungsi f(x) dikenali sebagai anti terbitan bagi f′(x).
| Proses | Bermula daripada | Hasil |
|---|---|---|
| Pembezaan | y = 4x² | dy/dx = 8x |
| Pengamiran | dy/dx = 8x | y = 4x² (+ c) |
Idea daripada buku teks m.s. 82 hingga 83 (Aktiviti Penerokaan 1). Simbol ∫ diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz pada tahun 1675 daripada huruf s panjang.
Contoh 1 (seperti Contoh 1, m.s. 83): gunakan terbitan yang diberi
Diberi d/dx (x⁵ + 3x) = 5x⁴ + 3, cari ∫ (5x⁴ + 3) dx.Pembezaan bagi x⁵ + 3x ialah 5x⁴ + 3. Secara songsangan, pengamiran bagi 5x⁴ + 3 ialah x⁵ + 3x. Maka ∫ (5x⁴ + 3) dx = x⁵ + 3x + c.
Contoh 2: gandaan bagi terbitan yang diberi
Diberi d/dx [(2x + 1)³] = 6(2x + 1)², cari ∫ 18(2x + 1)² dx.18(2x + 1)² = 3 × 6(2x + 1)², maka ∫ 18(2x + 1)² dx = 3(2x + 1)³ + c.
Contoh 3 (seperti Contoh 2, m.s. 83 hingga 84): kadar perubahan
Jisim arang batu yang dihasilkan ialah K = 48 000t − 100t³ (tan), dengan t dalam tahun. Kadar penghasilan ialah dK/dt = 48 000 − 300t². Jika kadar berubah kepada dK/dt = 96 000 − 600t² = 2(48 000 − 300t²), maka K = 2(48 000t − 100t³) = 96 000t − 200t³. Pada tahun ke-4, K = 96 000(4) − 200(4)³ = 384 000 − 12 800 = 371 200 tan.Untuk menyemak sebarang kamiran, bezakan jawapan anda. Anda mesti memperoleh semula ungkapan di dalam tanda kamiran.
Diberi d/dx (3x⁴ − x²) = 12x³ − 2x, cari ∫ (6x³ − x) dx.
Tunjuk jawapan
6x³ − x = ½(12x³ − 2x), maka ∫ (6x³ − x) dx = ½(3x⁴ − x²) + c = 3x⁴ − x²2 + c.
3.2Kamiran tak tentu
Rumus kamiran tak tentu (3.2.1)
Bagi pemalar a: ∫ a dx = ax + c.
Bagi fungsi axn: ∫ axn dx = axn + 1n + 1 + c, dengan a dan c pemalar, n integer dan n ≠ −1.
c ialah pemalar pengamiran.
Bagi fungsi axn: ∫ axn dx = axn + 1n + 1 + c, dengan a dan c pemalar, n integer dan n ≠ −1.
c ialah pemalar pengamiran.
Tiga kes dalam buku teks (m.s. 85): y = 5x, y = 5x + 2 dan y = 5x − 3 semuanya mempunyai dy/dx = 5. Oleh itu ∫ 5 dx = 5x + c: pemalar c mewakili semua kemungkinan itu.
Langkah mengamirkan axn: (1) tambahkan 1 kepada indeks, (2) bahagikan sebutan dengan indeks baharu, (3) tambahkan pemalar c.
Contoh 4 (seperti Contoh 3 dan 4, m.s. 86)
(a) ∫ 12 dx = 12x + c; ∫ −0.5 dx = −0.5x + c.(b) ∫ x³ dx = x⁴4 + c.
(c) ∫ 2x² dx = 2 ∫ x−2 dx = 2 × x−1−1 + c = −2x + c.
Jangan lupa + c pada kamiran tak tentu. Dan ∫ x−1 dx tidak boleh dicari dengan rumus ini kerana n ≠ −1.
Kamiran tak tentu bagi fungsi algebra (3.2.2)
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx, dan ∫ axn dx = a ∫ xn dx. Amirkan sebutan demi sebutan; hanya satu pemalar c diperlukan.
Contoh 5 (seperti Contoh 5, m.s. 87)
(a) ∫ (3x² + 2) dx = x³ + 2x + c.(b) ∫ (x − 2)(x + 6) dx = ∫ (x² + 4x − 12) dx = x³3 + 2x² − 12x + c.
(c) ∫ x²(3 + 1x⁵) dx = ∫ (3x² + x−3) dx = x³ − 12x² + c.
Hasil darab dua faktor tidak boleh diamirkan faktor demi faktor. Kembangkan dahulu, kemudian amirkan.
Cari ∫ (2x + 3)(x − 1) dx.
Tunjuk jawapan
(2x + 3)(x − 1) = 2x² + x − 3, maka kamiran = 2x³3 + x²2 − 3x + c.
Kamiran bagi (ax + b)n (3.2.3)
Ungkapan seperti (2x + 1)⁸ sangat rumit jika dikembangkan. Gunakan kaedah penggantian: katakan u = ax + b, maka du/dx = a dan dx = du/a. Dengan petua rantai, ∫ (ax + b)n dx = 1a ∫ un du.
∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1a(n + 1) + c, dengan a dan b pemalar, n integer dan n ≠ −1.
(Buku teks m.s. 88.)
(Buku teks m.s. 88.)
Contoh 6 (seperti Contoh 6 dan 7, m.s. 89)
(a) ∫ (3x + 5)⁵ dx: u = 3x + 5, dx = du/3, jadi kamiran = 13 ∫ u⁵ du = (3x + 5)⁶18 + c.(b) ∫ (2 − 3x)⁴ dx = (2 − 3x)⁵−3(5) + c = −(2 − 3x)⁵15 + c. Di sini a = −3 dan n + 1 = 5.
(c) ∫ 3(5x − 3)⁶ dx = ∫ 3(5x − 3)−6 dx = 3(5x − 3)−55(−5) + c = −325(5x − 3)⁵ + c.
(d) ∫ √(5x + 2) dx = ∫ (5x + 2)½ dx = 215(5x + 2)3/2 + c.
Bahagikan dengan a (pekali x) dan dengan n + 1. Kesilapan lazim: hanya membahagi dengan n + 1.
Cari ∫ 8(2 − 3x)−2 dx.
Tunjuk jawapan
a = −3, n + 1 = −1, maka kamiran = 8(2 − 3x)−1(−3)(−1) + c = 83(2 − 3x) + c.
Persamaan lengkung daripada fungsi kecerunan (3.2.4)
Jika dy/dx = f′(x) ialah fungsi kecerunan, maka persamaan lengkung ialah y = ∫ f′(x) dx. Nilai c ditentukan dengan menggantikan satu titik (x, y) yang terletak pada lengkung.
Contoh 7 (seperti Contoh 8 dan 9, m.s. 90)
Kecerunan lengkung ialah dy/dx = 15x² + 4x − 3 dan lengkung melalui (−1, 2).y = 5x³ + 2x² − 3x + c. Gantikan x = −1, y = 2: 2 = −5 + 2 + 3 + c, maka c = 2.
Persamaan lengkung: y = 5x³ + 2x² − 3x + 2. Apabila x = 1, y = 5 + 2 − 3 + 2 = 6.
Dalam soalan yang memberi kecerunan normal, cari kecerunan tangen dahulu: mtangen = −1/mnormal, kemudian amirkan.
Kecerunan lengkung ialah dy/dx = 3x² − 6x + 2 dan lengkung melalui (1, 4). Cari persamaan lengkung dan nilai y apabila x = −1.
Tunjuk jawapan
y = x³ − 3x² + 2x + c; 4 = 1 − 3 + 2 + c memberi c = 4. Maka y = x³ − 3x² + 2x + 4 dan apabila x = −1, y = −1 − 3 − 2 + 4 = −2.
3.3Kamiran tentu
Nilai kamiran tentu dan sifatnya (3.3.1)
Kamiran tentu bagi f(x) antara had x = a dengan x = b: ∫ab f(x) dx = [g(x) + c]ab = g(b) − g(a). Pemalar c hilang kerana ia dibatalkan.
Contoh 8 (seperti Contoh 10 dan 11, m.s. 92 hingga 93)
(a) ∫23 x² dx = [x³3]23 = 3³3 − 83 = 193.(b) ∫−14 (3x² + 2x) dx = [x³ + x²]−14 = (64 + 16) − (−1 + 1) = 80.
(c) ∫24 (2x − 5)⁴ dx = [(2x − 5)⁵2(5)]24 = 24310 − (−110) = 1225.
Sifat kamiran tentu (Aktiviti Penerokaan 3, m.s. 93 hingga 94):
(a) ∫aa f(x) dx = 0
(b) ∫ba f(x) dx = −∫ab f(x) dx
(c) ∫ab kf(x) dx = k ∫ab f(x) dx, k pemalar
(d) ∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx, dengan a < b < c
(e) ∫ab [f(x) ± g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
(a) ∫aa f(x) dx = 0
(b) ∫ba f(x) dx = −∫ab f(x) dx
(c) ∫ab kf(x) dx = k ∫ab f(x) dx, k pemalar
(d) ∫ab f(x) dx + ∫bc f(x) dx = ∫ac f(x) dx, dengan a < b < c
(e) ∫ab [f(x) ± g(x)] dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
Contoh 9 (seperti Contoh 12 dan 13, m.s. 94)
Diberi ∫13 f(x) dx = 4, ∫35 f(x) dx = 3 dan ∫13 g(x) dx = 12.∫31 f(x) dx = −4; ∫13 [f(x) + g(x)] dx = 4 + 12 = 16; ∫15 f(x) dx = 4 + 3 = 7.
Jika ∫25 f(x) dx = 12 dan ∫25 [hf(x) − 3] dx = 51: 12h − 3(5 − 2) = 51, 12h = 60, maka h = 5.
Diberi ∫26 f(x) dx = 8 dan ∫24 f(x) dx = 3. Cari ∫46 f(x) dx dan nilai h jika ∫26 [hf(x) + 1] dx = 36.
Tunjuk jawapan
∫46 f(x) dx = 8 − 3 = 5. 8h + [x]26 = 36, jadi 8h + 4 = 36 dan h = 4.
Hasil tambah luas segi empat tepat dan luas di bawah lengkung (3.3.2)
Bahagikan rantau di bawah lengkung y = f(x) antara x = a dengan x = b kepada n jalur segi empat tepat yang tipis dengan lebar δx = (b − a)/n. Luas satu jalur ≈ yi δx. Apabila n bertambah, hasil tambah luas segi empat tepat menghampiri luas sebenar (Aktiviti Penerokaan 4, m.s. 95 hingga 96).
Luas di bawah lengkung = hadδx → 0 Σi = 1n yi δx = ∫ab y dx.
Luas rantau (3.3.3)
Luas rantau antara lengkung dengan paksi-x: L = ∫ab y dx. Jika rantau di bawah paksi-x, nilai kamiran negatif; luas ialah nilai positifnya (Aktiviti Penerokaan 5, m.s. 97).
Jika sebahagian rantau di atas paksi-x dan sebahagian di bawah, jangan amirkan serentak. Cari titik persilangan dengan paksi-x, kira setiap bahagian, ambil nilai mutlak, kemudian tambahkan.
Contoh 10 (seperti Contoh 14 dan 15, m.s. 97 hingga 98)
Cari luas rantau yang dibatasi oleh y = x² − 5x + 4 dan paksi-x dari x = 1 hingga x = 5.x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) = 0 memberi x = 1 dan 4.
Rantau A (1 hingga 4, di bawah paksi): ∫14 y dx = −92, luas = 92 unit².
Rantau B (4 hingga 5, di atas paksi): ∫45 y dx = 116 unit².
Jumlah luas = 92 + 116 = 193 unit². (Bukan ∫15 y dx = −83.)
Luas rantau antara lengkung dengan paksi-y: L = ∫ab x dy, dengan x dinyatakan dalam sebutan y. Rantau di sebelah kanan paksi-y memberi nilai positif dan di sebelah kiri memberi nilai negatif (Aktiviti Penerokaan 6, m.s. 99).
Contoh 11 (seperti Contoh 16, m.s. 100)
Cari luas rantau yang dibatasi oleh x = y², paksi-y, y = 0 dan y = 2.Luas = ∫02 y² dy = [y³3]02 = 83 unit².
Luas rantau antara lengkung dengan garis lurus: jika lengkung y = g(x) di atas garis y = f(x), luas = ∫ab [g(x) − f(x)] dx (m.s. 102). Jika garis di atas lengkung, luas = ∫ab [f(x) − g(x)] dx. Secara am: luas = ∫ab (fungsi atas − fungsi bawah) dx. Had a dan b diperoleh dengan menyamakan kedua-dua persamaan.
Contoh 12 (seperti Contoh 18 hingga 20, m.s. 103 hingga 104)
Garis y = x + 2 bersilang dengan lengkung y = x² di (−1, 1) dan (2, 4).Luas = ∫−12 [(x + 2) − x²] dx = [x²2 + 2x − x³3]−12 = 92 unit².
Garis y = 2x bersilang dengan lengkung y = 6x − x² di asalan dan titik P. Cari koordinat P dan luas rantau di antaranya.
Tunjuk jawapan
6x − x² = 2x memberi x(4 − x) = 0, x = 0 atau 4; P = (4, 8). Luas = ∫04 (4x − x²) dx = [2x² − x³3]04 = 32 − 643 = 323 unit².
Isi padu janaan: idea kisaran (3.3.4)
Apabila rantau di bawah lengkung dikisarkan sepenuhnya melalui 360° pada satu paksi, terbentuk bongkah janaan (Aktiviti Penerokaan 7, m.s. 105). Bongkah itu dibahagikan kepada n silinder nipis. Pada paksi-x, setiap silinder berjejari yi dan lebar δx, maka isi padunya δIi = πyi² δx. Apabila δx → 0, jumlah isi padu ialah ∫ab πy² dx. Isi padu janaan sentiasa positif.
Isi padu janaan pada paksi-x atau paksi-y (3.3.5)
Pada paksi-x: I = ∫ab πy² dx (rantau di bawah y = f(x), had x = a hingga x = b).
Pada paksi-y: I = ∫ab πx² dy (rantau di bawah x = g(y), had y = a hingga y = b).
Pada paksi-y: I = ∫ab πx² dy (rantau di bawah x = g(y), had y = a hingga y = b).
Contoh 13 (seperti Contoh 21 dan 22, m.s. 107 hingga 108)
(a) Rantau di bawah y = 2x² + 3 dari x = 0 hingga x = 2 dikisarkan pada paksi-x: I = π ∫02 (2x² + 3)² dx = π ∫02 (4x⁴ + 12x² + 9) dx = π[4x⁵5 + 4x³ + 9x]02 = π(25.6 + 32 + 18) = 7535π unit³.(b) Rantau di bawah y = 6/x antara y = 1 dengan y = 4 dikisarkan pada paksi-y: x = 6/y, I = π ∫14 36y² dy = π[−36/y]14 = π(−9 + 36) = 27π unit³.
Contoh 14: rantau di antara lengkung dengan garis (seperti Contoh 23, m.s. 108 hingga 109)
Lengkung y = ¼x² bersilang dengan y = x di O dan A(4, 4). Apabila rantau di antara kedua-duanya dikisarkan pada paksi-x: I = I1 − I2 = π ∫04 x² dx − π ∫04 (¼x²)² dx = 643π − 645π = 8815π unit³. Tolak isi padu bahagian dalam daripada isi padu luar; jangan kisarkan luas rantau itu terus.Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh y = x², paksi-y dan y = 4 dikisarkan pada paksi-y. Apakah isi padu apabila rantau di bawah y = x² dari x = 0 hingga 2 dikisarkan pada paksi-x?
Tunjuk jawapan
Paksi-y: x² = y, I = π ∫04 y dy = π[y²2]04 = 8π unit³. Paksi-x: I = π ∫02 x⁴ dx = π[x⁵5]02 = 325π unit³.
3.4Aplikasi pengamiran
Pengamiran digunakan untuk mencari luas dan isi padu, menentukan jarak daripada fungsi halaju, dan menyelesaikan masalah dalam ekonomi, biologi dan statistik (m.s. 111). Buku teks menggunakan empat langkah: 1. memahami masalah, 2. merancang strategi, 3. melaksanakan strategi, 4. membuat refleksi.
Contoh 15 (seperti Contoh 24, m.s. 111): mangkuk berbentuk parabola
Keratan rentas sebuah mangkuk ialah y = ax²; diameter 12 cm dan kedalaman 2 cm.1. Titik (6, 2) terletak pada lengkung. 2. Gantikan untuk a, kemudian guna I = ∫02 πx² dy.
3. 2 = a(6)², maka a = 118. x² = 18y; isi padu = π ∫02 18y dy = π[9y²]02 = 36π cm³.
4. Semak dengan mengganti a = 118 semula ke dalam ∫02 π(y/a) dy = 36π: jawapannya konsisten.
Contoh 16 (seperti Contoh 25, m.s. 112): kadar pertambahan
Kadar pertambahan luas koloni bakteria ialah dA/dt = 2t + 5 (cm² per saat). Luas selepas 5 saat = ∫05 (2t + 5) dt = [t² + 5t]05 = 50 cm². Jika 1 cm² mempunyai 1 000 000 sel, bilangan bakteria = 50 × 1 000 000 = 5 × 10⁷ sel.Dalam masalah kadar: amirkan dV/dt untuk mendapat V, kemudian gunakan nilai awal (contohnya V = 0 apabila t = 0) untuk mencari c. Dalam masalah geometri, lukis rajah, cari titik persilangan dahulu, kemudian pilih rumus luas atau isi padu.
Kadar perubahan isi padu air dalam sebuah tangki ialah dV/dt = 4t + 6 (cm³ s⁻¹) dan V = 20 apabila t = 0. Cari V pada t = 4.
Tunjuk jawapan
V = 2t² + 6t + c; 20 = c. Pada t = 4, V = 32 + 24 + 20 = 76 cm³.
3Rumusan (Sudut Refleksi)
| Tajuk | Rumus |
|---|---|
| Kamiran tak tentu | ∫ axn dx = axn + 1n + 1 + c, n ≠ −1; ∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n + 1a(n + 1) + c |
| Persamaan lengkung | y = ∫ f′(x) dx, nilai c daripada satu titik pada lengkung |
| Kamiran tentu | ∫ab f(x) dx = g(b) − g(a) |
| Luas rantau | L = ∫ab y dx atau ∫ab x dy; antara dua lengkung: ∫ab (atas − bawah) dx |
| Isi padu janaan | ∫ab πy² dx (paksi-x); ∫ab πx² dy (paksi-y) |
Ringkasan berdasarkan Sudut Refleksi, buku teks m.s. 114.