Matematik Tambahan notesnota, bab 4

Pilih Atur dan Gabungan

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 118–139

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menyiasat dan membuat generalisasi tentang petua pendaraban (4.1.1)
Saya boleh menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza, dengan faktorial n!, dan bagi n objek berbeza diambil r objek pada satu masa, nPr (4.1.2)
Saya boleh menentukan bilangan pilih atur dalam bentuk bulatan dan bagi objek yang melibatkan objek secaman (4.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah pilih atur dengan syarat tertentu, seperti objek bersama atau berselang-seli, dan nombor ganjil atau kurang daripada suatu nilai (4.1.3)
Saya boleh membandingkan perbezaan antara pilih atur dan gabungan (4.2.1)
Saya boleh menentukan bilangan gabungan r objek daripada n objek berbeza, nCr (4.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah gabungan dengan syarat tertentu (4.2.3)

4.1Pilih Atur

Istilah (Bahasa Melayu)	Term (English)
Petua pendaraban	Product rule
Pilih atur	Permutations
Faktorial	Factorial
Susunan	Arrangement
Tertib	Order
Gabungan	Combinations
Objek secaman	Identical object

Petua pendaraban (4.1.1)

Aktiviti Penerokaan 1: sebuah kedai menawarkan set sarapan pagi daripada Menu A (roti canai, roti nan, roti jala) dan Menu B (kuah kari, kuah dal). Gambar rajah pokok menyenaraikan semua pilihan.

Gambar rajah pokok: tiga jenis roti, setiap satu bercabang kepada kuah kari dan kuah dal, memberi enam set — Enam cara memilih set sarapan pagi.

Rajah daripada buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), m.s. 120.

Petua pendaraban. Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan suatu peristiwa kedua boleh berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam m × n cara. Petua ini juga boleh digunakan untuk lebih daripada dua peristiwa.

Contoh daripada buku: 3 jenis roti × 2 jenis kuah = 6 cara. Jika ditambah 4 jenis minuman, 3 × 2 × 4 = 24 cara.

Keadaan	Petua
Peristiwa berlaku satu demi satu ("dan")	Darab bilangan cara (petua pendaraban)
Hanya satu daripada beberapa pilihan yang berasingan ("atau")	Tambah bilangan cara (petua penambahan)

Contoh 1 (m.s. 121)

(a) Melambung sebiji dadu dan sekeping duit syiling serentak: 6 × 2 = 12 cara.
(b) Kod 4 digit untuk telefon bimbit, digit boleh berulang: 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 cara.

Latihan Kendiri 4.1 no. 3 (m.s. 121)

Terdapat 4 jalan dari Kota A ke Kota B dan 5 jalan dari Kota B ke Kota C. Perjalanan pergi dan balik A ke C melalui B:
(a) menggunakan jalan yang sama: 4 × 5 = 20 cara;
(b) tidak menggunakan jalan yang sama: 4 × 5 × 3 × 4 = 240 cara.

Pilih atur n objek berbeza dan faktorial (4.1.2)

Aktiviti Penerokaan 2: huruf T, U, A, H disusun pada kotak. Kotak pertama ada 4 pilihan, kotak kedua 3, kotak ketiga 2 dan kotak keempat 1. Dengan petua pendaraban, 4 × 3 × 2 × 1 = 24 susunan.

Pilih atur ialah susunan objek yang mementingkan tertib. Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza ialah n! = ⁿP_n = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 3 × 2 × 1. n! dibaca "n faktorial".

Diberi 1! = 1 dan 0! = 1. Pada kalkulator saintifik, tekan 4 SHIFT x⁻¹ = untuk mendapat 4! = 24.

Contoh 2 (m.s. 122): tanpa kalkulator

(a) 11!/9! = (11 × 10 × 9!)/9! = 11 × 10 = 110.
(b) 6!/(4! 2!) = (6 × 5 × 4!)/(4! × 2 × 1) = 30/2 = 15.

Untuk memudahkan hasil bahagi faktorial, batalkan faktor sepunya. Jangan tulis 9!/7! = 2!. Jawapan yang betul: 9!/7! = 9 × 8 = 72.

Contoh 3 (m.s. 122)

Huruf dalam perkataan BIJAK tanpa ulangan: n = 5, maka 5! = 120 cara.

Pilih atur dalam bentuk bulatan (4.1.2)

Aktiviti Penerokaan 3: tiga huruf A, P, I. Secara linear ada 3! = 6 susunan, tetapi secara bulatan API, PIA dan IAP ialah susunan yang sama kerana putaran bulatan tidak mengubah kedudukan relatif. Maka 3 pilih atur linear bersamaan dengan 1 pilih atur dalam bulatan.

Jadual: enam susunan linear API, IAP, PIA, AIP, PAI, IPA dan dua susunan membulat — 3 huruf: 6 susunan linear, tetapi hanya 2 susunan membulat.

Rajah daripada buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), m.s. 123.

Pilih atur n objek berbeza dalam bulatan: P = n!/n = (n − 1)!

Contoh 4 (m.s. 123)

Enam orang murid duduk di sebuah meja bulat: (6 − 1)! = 5! = 120 cara.

Contoh 5 (m.s. 124)

12 butir manik berlainan warna disusun membentuk seutas rantai mainan. Susunan mengikut arah jam atau lawan arah jam tidak memberi perbezaan, maka bilangan cara ialah (12 − 1)!/2 = 11!/2 = 19 958 400.

Rantai, gelang atau kalung: arah jam dan lawan arah jam dianggap sama, maka bahagikan dengan 2.

Pilih atur r objek daripada n objek berbeza (4.1.2)

Daripada perkataan BERTUAH (7 huruf), pilih dan susun 4 huruf: kotak pertama 7 pilihan, kemudian 6, 5, 4. Bilangan susunan = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 = 7!/3! = 7!/(7 − 4)!.

ⁿP_r = n!/(n − r)!, dengan r ≤ n

Contoh 6 dan 7 (m.s. 125)

⁶P₄ = 6!/(6 − 4)! = 6!/2! = 6 × 5 × 4 × 3 = 360.
Lapan orang ahli jawatankuasa, tiga jawatan (Presiden, Naib Presiden, Setiausaha): ⁸P₃ = 8!/5! = 336.

Pilih atur r objek daripada n objek berbeza dalam bulatan: ⁿP_r / r.
Contoh: 4 huruf daripada BERTUAH dalam bulatan = 840/4 = 210.

Contoh 8 (m.s. 126)

12 butir manik, gelang 8 butir manik. Arah jam dan lawan arah jam sama: ¹²P₈/(2 × 8) = 19 958 400/16 = 1 247 400.

Tip Pintar (m.s. 125): jika arah jam atau lawan arah jam tidak diambil kira, bilangan pilih atur ialah ⁿP_r/(2r).

Semak cepat. Hitung ⁷P₃, dan bilangan cara tujuh orang pelanggan duduk di sebuah meja bulat.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

⁷P₃ = 7 × 6 × 5 = 210. Meja bulat: (7 − 1)! = 6! = 720.

Pilih atur dengan objek secaman (4.1.2)

Aktiviti Penerokaan 4: dalam APA, label A₁ dan A₂ memberi 3! = 6 susunan. Apabila A₁ = A₂, susunan yang sama dikira sekali: 6/2! = 3 (APA, AAP, PAA).

Pilih atur n objek dengan objek secaman: P = n!/(a! b! c! …), dengan a, b, c, … ialah bilangan objek bagi setiap jenis objek secaman.

Contoh 9 (m.s. 127)

SIMBIOSIS: n = 9, huruf S ada 3 dan huruf I ada 3. Bilangan susunan = 9!/(3! 3!) = 10 080.

Semak cepat. Cari bilangan susunan huruf dalam perkataan MALARIA.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

7 huruf, A ada 3: 7!/3! = 840.

Pilih atur dengan syarat tertentu (4.1.3)

Tujuh objek: 4 bulatan dan 3 segi tiga. Syarat dipertimbangkan terlebih dahulu (m.s. 128).

Syarat	Kaedah	Bilangan susunan
Berselang-seli (bulatan, segi tiga, bulatan, ...)	Susun bulatan dan susun segi tiga, kemudian darab	4! × 3! = 144
Semua bulatan dalam satu kelompok sahaja	Anggap kelompok bulatan sebagai satu objek bersama 3 segi tiga, kemudian susun dalam kelompok	4! × 4! = 576
Bulatan dan segi tiga dalam kelompok masing-masing	Dua kes: bulatan di hadapan atau segi tiga di hadapan	144 + 144 = 288

Contoh 10 (m.s. 129): nombor ganjil

Nombor 4 digit daripada digit 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, tanpa ulangan, mestilah ganjil. Digit terakhir ganjil (1, 3, 5 atau 9): 4 pilihan. Tiga digit di hadapan: ⁶P₃ = 120. Jumlah = ⁶P₃ × ⁴P₁ = 480.

Contoh 11 (m.s. 129): bersebelahan dalam bulatan

5 orang pekerja A, B, C, D dan E duduk di meja bulat dengan A dan B bersebelahan. Anggap A dan B satu unit bersama 3 orang lain: (4 − 1)! = 6. A dan B boleh bertukar tempat: 2. Jumlah = 6 × 2 = 12.

Contoh 12 (m.s. 129): huruf vokal bersama

SUASANA: n = 7, S ada 2, A ada 3. Vokal ialah A, A, A, U. Kelompokkan vokal sebagai satu objek bersama S, S, N: 4!/2! = 12 cara. Dalam kelompok, 4!/3! = 4 cara. Jumlah = 12 × 4 = 48.

Contoh 13 (m.s. 130): nombor ganjil kurang daripada 5 000

Digit 2, 3, 5, 7, nombor 4 digit ganjil dan kurang daripada 5 000.
Digit pertama mesti 2 atau 3 (kurang daripada 5 000) dan digit terakhir mesti ganjil.
Kes 1: digit pertama 2. Digit terakhir 3, 5 atau 7: 3 pilihan. Dua kotak tengah: 2! = 2 cara. Maka 1 × 2 × 3 = 6 cara.
Kes 2: digit pertama 3. Digit terakhir 5 atau 7: 2 pilihan. Dua kotak tengah: 2 cara. Maka 1 × 2 × 2 = 4 cara.
Jumlah = 6 + 4 = 10.

Nombor 4 digit tidak boleh bermula dengan 0. Apabila 0 ada, uruskan kotak pertama (dan kotak terakhir bagi nombor genap) dahulu. Selesaikan kotak yang mempunyai syarat sebelum kotak lain.

Semak cepat. Huruf dalam TULAR disusun berselang-seli antara konsonan dan vokal (konsonan di hujung). Berapakah susunannya?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Konsonan T, L, R (3) dan vokal U, A (2): K V K V K. 3! × 2! = 12 (Latihan Kendiri 4.5 no. 1a).

4.2Gabungan

Perbezaan antara pilih atur dan gabungan (4.2.1)

Memilih dua daripada tiga rakan Aakif, Wong dan Chelvi: jika kedudukan dipentingkan ada 6 susunan, tetapi {Aakif, Wong} dan {Wong, Aakif} ialah pilihan yang sama. Hanya 3 pilihan: {Aakif, Wong}, {Aakif, Chelvi}, {Wong, Chelvi}.

Gambar rajah pokok memilih dua daripada Aakif, Wong dan Chelvi, enam keputusan — Enam pilih atur, tetapi hanya tiga gabungan.

Rajah daripada buku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), m.s. 132.

	Pilih atur	Gabungan
Tertib susunan	Penting	Tidak penting
Maksud	Menyusun objek	Memilih objek
Contoh	Memilih ketua kelas dan penolong ketua kelas daripada 5 murid	Memilih 2 murid daripada 5 murid untuk menyertai pertandingan

Bilangan gabungan nCr (4.2.2)

Aktiviti Penerokaan 5: memilih 3 daripada 4 objek. Jika kedudukan diambil kira, ⁴P₃ = 24. Setiap 3 objek mempunyai 3! = 6 susunan, maka gabungan = 24 ÷ 6 = 4.

ⁿC_r = ⁿP_r/r! = n!/(r!(n − r)!). Boleh ditulis juga sebagai nombor binomial.

Sudut Informasi (m.s. 133): ⁿC₀ = 1 dan ⁿC₁ = n. Juga ⁿC_r = ⁿC_n−r (buktikannya dalam Latihan Formatif 4.2 no. 1), contohnya ⁹C₂ = ⁹C₇ = 36.

Contoh 14 hingga 16 (m.s. 134)

Pasukan silat 8 orang, pilih 2 wakil: ⁸C₂ = 8!/(2! 6!) = 28.
Pilih 3 ahli jawatankuasa daripada 10 calon: ¹⁰C₃ = 10!/(3! 7!) = 120.
Segi tiga daripada 6 bucu heksagon: ⁶C₃ = 20.

Contoh 7 (pilih atur, tiga jawatan berbeza) dan Contoh 15 (gabungan, tiga ahli biasa) menggunakan nombor yang hampir sama tetapi jawapannya berbeza (336 dan 120). Tanya: adakah tertib penting?

Gabungan dengan syarat tertentu (4.2.3)

Beberapa kumpulan: pilih daripada setiap kumpulan dan darab. Darab apabila ada "dan".
Pembahagian kepada kumpulan: pilih kumpulan pertama, kemudian kumpulan kedua daripada baki, dan seterusnya. Darab semua.
Sekurang-kurangnya: tambah kes-kes yang berasingan ("atau"), atau gunakan jumlah tolak kes yang tidak dikehendaki.

Pembahagian (m.s. 135)

10 rakan dibahagi kepada kumpulan 2, 3 dan 5 orang: ¹⁰C₂ × ⁸C₃ × ⁵C₅ = 45 × 56 × 1 = 2 520.

Contoh 17 (m.s. 135)

11 pemain utama daripada 17 pemain tempatan dan 3 pemain import, dengan tepat 2 pemain import: ³C₂ × ¹⁷C₉ = 3 × 24 310 = 72 930.

Contoh 18 (m.s. 136)

Pilih 3 motif daripada 4 motif organik dan 5 motif geometri, sekurang-kurangnya satu daripada setiap jenis:
2 organik dan 1 geometri: ⁴C₂ × ⁵C₁ = 6 × 5 = 30.
1 organik dan 2 geometri: ⁴C₁ × ⁵C₂ = 4 × 10 = 40.
Jumlah = 30 + 40 = 70.

Jangan tambah ⁵C₂ + ⁴C₂ apabila kedua-dua kumpulan diperlukan serentak. "Dan" bermaksud darab, "atau" bermaksud tambah.

Semak cepat. Cari ¹⁰C₃. Adakah memilih pemenang pingat emas, perak dan gangsa daripada 10 pelari menggunakannya?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

¹⁰C₃ = 120. Tidak. Pingat berbeza, maka tertib penting: ¹⁰P₃ = 720.

Sudut Refleksi (m.s. 137). Petua pendaraban: m × n cara. Pilih atur (tertib penting): n! dan ⁿP_r; bulatan: (n − 1)! dan ⁿP_r/r; objek secaman: n!/(a! b! c! …). Gabungan (tertib tidak penting): ⁿC_r = n!/(r!(n − r)!).