Matematik Tambahan notesnota, bab 5

Taburan Kebarangkalian

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 140-187

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mengenal pasti pemboleh ubah rawak dan menyatakan nilainya dalam tatatanda set (5.1.1)
Saya boleh membezakan pemboleh ubah rawak diskret daripada pemboleh ubah rawak selanjar (5.1.2)
Saya boleh membina taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret melalui gambar rajah pokok dan menunjukkan bahawa jumlah kebarangkalian ialah 1 (5.1.3)
Saya boleh membina dan mentafsir jadual dan graf taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret (5.1.4)
Saya boleh mengenal pasti percubaan Bernoulli, eksperimen binomial dan taburan binomial (5.2.1)
Saya boleh menentukan kebarangkalian suatu peristiwa bagi taburan binomial dengan rumus P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ (5.2.2)
Saya boleh membina jadual, melukis graf dan mentafsir maklumat taburan binomial (5.2.3)
Saya boleh menentukan min, varians dan sisihan piawai bagi taburan binomial (5.2.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan binomial (5.2.5)
Saya boleh menerangkan ciri-ciri graf taburan normal, termasuk kesan min dan sisihan piawai, dan hukum bilangan besar (5.3.1)
Saya boleh menerangkan taburan normal piawai Z ~ N(0, 1) (5.3.2)
Saya boleh menentukan dan mentafsir skor piawai, Z = (X − μ) / σ (5.3.3)
Saya boleh menentukan kebarangkalian suatu peristiwa bagi taburan normal dan mencari nilai skor-z atau nilai X apabila kebarangkalian diberi (5.3.4)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan normal (5.3.5)

5.1Pemboleh ubah rawak

Pemboleh ubah rawak ialah suatu pemboleh ubah dengan nilai berangka yang ditentukan daripada suatu fenomena rawak. Pemboleh ubah ditulis dengan huruf besar seperti X dan nilainya dengan huruf kecil seperti r. Contoh: dalam dua permainan bola keranjang, X = bilangan kali menang, maka X = {0, 1, 2}. (5.1.1)

Contoh 1 (m.s. 142): nyatakan pemboleh ubah rawak

(a) Sebiji dadu dilambung sekali: pemboleh ubah rawak ialah nombor pada permukaan atas dadu, iaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(b) Seorang lelaki menunggu bas: pemboleh ubah rawak ialah tempoh masa menunggu di perhentian bas.

Pemboleh ubah rawak diskret dan selanjar

Jenis	Nilai	Penulisan	Contoh
Pemboleh ubah rawak diskret	Nilai yang boleh dibilang, selalunya sifar dan integer positif	X = {r : r = 0, 1, 2, 3}	Bilangan kali mendapat gambar dalam tiga lambungan duit syiling
Pemboleh ubah rawak selanjar	Bukan integer; nilainya berada dalam suatu selang	Y = {y : a ≤ y ≤ b}	Tinggi murid dalam cm

Contoh 2 (m.s. 144)

(a) Sebiji dadu adil dilambung 3 kali, X = bilangan kali mendapat nombor 4. X = {0, 1, 2, 3}: pemboleh ubah rawak diskret kerana nilainya boleh dibilang.
(b) X = masa menunggu bas antara 5 minit hingga 55 minit. X = {x : 5 ≤ x ≤ 55}: pemboleh ubah rawak selanjar kerana nilainya berada dalam suatu selang.

Bilangan benda yang dibilang ialah diskret. Sukatan seperti masa, jisim dan tinggi ialah selanjar. (5.1.2)

Taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak diskret

Jika X mempunyai nilai r₁, r₂, …, rₙ, maka setiap P(X = rᵢ) ≥ 0 dan jumlah kebarangkalian ΣP(X = rᵢ) = 1.

Taburan boleh ditunjukkan dengan gambar rajah pokok, jadual atau graf. Dalam gambar rajah pokok, kebarangkalian setiap cabang ditulis pada cabang itu, dan kebarangkalian satu kesudahan ialah hasil darab kebarangkalian sepanjang cabang. Kebarangkalian bagi suatu nilai X ialah jumlah kebarangkalian semua kesudahan yang memberi nilai itu. (5.1.3)

Contoh 3 (m.s. 146): dua dadu dilambung serentak 3 kali

X = bilangan kali mendapat hasil tambah 7. R = hasil tambah 7, T = bukan 7. Daripada jadual hasil tambah, P(R) = 6/36 = 1/6 dan P(T) = 5/6. X = {0, 1, 2, 3}.

r	0	1	2	3
P(X = r)	125/216 = 0.5787	75/216 = 0.3472	15/216 = 0.0694	1/216 = 0.0046

Contohnya P(X = 1) = P(R,T,T) + P(T,R,T) + P(T,T,R) = 3 × (1/6)(5/6)² = 75/216. Jumlah = (125 + 75 + 15 + 1)/216 = 1.

Tiga cabang memberi X = 1, jadi darabkan dengan 3. Konsep gabungan memberi hasil yang sama: P(X = 1) = ³C₁(1/6)¹(5/6)². Kaedah ini mengarah kepada rumus binomial.

Jadual dan graf taburan

Taburan juga ditulis dalam jadual (nilai X dan P(X = r)) dan dilukis sebagai graf P(X = r) melawan r, dengan satu garis menegak bagi setiap nilai r. Jumlah semua kebarangkalian dalam jadual dan graf ialah 1. (5.1.4)

Contoh 4 (m.s. 148) dan Contoh 5 (m.s. 150)

Contoh 4: sebuah kotak ada 3 produk J dan 5 produk K. Satu produk dipilih, dicatat dan dimasukkan semula; ini dibuat 3 kali. X = bilangan kali produk K diperiksa, P(K) = 5/8.

r	0	1	2	3
P(X = r)	27/512 = 0.0527	135/512 = 0.2637	225/512 = 0.4395	125/512 = 0.2441

Contoh 5: 70% murid mendapat gred A. Dua murid dipilih; X = bilangan murid yang tidak mendapat gred A, P = 0.3. P(X = 0) = 0.7 × 0.7 = 0.49; P(X = 1) = 2 × 0.3 × 0.7 = 0.42; P(X = 2) = 0.3 × 0.3 = 0.09.

Pemboleh ubah rawak diskret X mempunyai P(X = r) = k(r + 1) bagi r = 0, 1, 2, 3, 4. Cari k.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

k(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1, maka 15k = 1 dan k = 1/15.

5.2Taburan binomial

Percubaan Bernoulli dan eksperimen binomial

Suatu percubaan Bernoulli hanya ada dua kesudahan, ‘kejayaan’ dan ‘kegagalan’. Ciri-cirinya: kebarangkalian ‘kejayaan’ p sentiasa sama dalam setiap percubaan; kebarangkalian ‘kegagalan’ ialah q = 1 − p dengan 0 < p < 1; dan X = {0, 1}, dengan 0 untuk ‘kegagalan’ dan 1 untuk ‘kejayaan’.

Eksperimen binomial terdiri daripada n percubaan Bernoulli yang serupa dan tidak bersandar. Pemboleh ubah rawak binomial ialah bilangan kejayaan r daripada n percubaan itu, dan taburannya ialah taburan binomial. (5.2.1)

Contoh 6 dan 7 (m.s. 153 dan 154)

Contoh 6: permainan tic-tac-toe ada tiga kesudahan (menang, seri, kalah), maka bukan taburan binomial.
Contoh 7: rak ada 6 buku rujukan Kimia dan 4 buku rujukan Fizik. Tiga buku Fizik diambil satu demi satu tanpa dipulangkan. Kebarangkalian mengambil Fizik berubah: 4/10, 3/9, 2/8. Percubaan bersandar, maka bukan taburan binomial.

Pengambilan tanpa pemulangan daripada kumpulan kecil mengubah p setiap kali, jadi percubaan itu bersandar. Jika barang dipulangkan, kebarangkalian tetap dan taburannya binomial.

Rumus taburan binomial

Jika X ialah bilangan ‘kejayaan’ dalam n percubaan yang tidak bersandar, maka P(X = r) = ⁿC_r p^r q^n−r, r = 0, 1, 2, …, n. Kita tulis X ~ B(n, p). (5.2.2)

ⁿCᵣ bermaksud dalam n percubaan, mana-mana r kali ialah ‘kejayaan’. Peristiwa kejayaan dan kegagalan ialah peristiwa saling eksklusif.

Contoh 8 (m.s. 157): hujan, p = 0.45 sehari

Seminggu: n = 7, p = 0.45, q = 0.55.
(a) Tepat 4 hari: P(X = 4) = ⁷C₄(0.45)⁴(0.55)³ = 0.2388.
(b) Sekurang-kurangnya 2 hari: P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − (0.0152 + 0.0872) = 0.8976.

‘Sekurang-kurangnya’ ialah 1 − P(sebaliknya). ‘Tidak lebih daripada 2’ ialah P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2).

Jadual dan graf taburan binomial

Contoh 9 (m.s. 159): 45% murid menaiki bas sekolah, sampel 4 murid

X ~ B(4, 0.45). Setiap nilai dikira dengan rumus binomial; jumlah kebarangkalian ialah 1.

r	0	1	2	3	4
P(X = r)	0.0915	0.2995	0.3675	0.2005	0.0410

P(X > 3) = P(X = 4) = 0.0410. P(X < 2) = 0.0915 + 0.2995 = 0.3910.

Graf palang taburan binomial B(4, 0.45): 0.0915, 0.2995, 0.3675, 0.2005 dan 0.0410 bagi r = 0 hingga 4 — Taburan X ~ B(4, 0.45). Bar tertinggi ialah r = 2.

Bentuk graf bergantung kepada p. Jika p = 0.5, graf simetri. Jika p < 0.5, graf bergerak ke kiri dan tidak simetri; jika p > 0.5, graf bergerak ke kanan dan tidak simetri. (5.2.3)

Contoh 10 (m.s. 159): nilai yang tidak diketahui pada graf

Graf taburan binomial bagi r = 0, 1, 2, 3, 4 menunjukkan P(X = r) = 1/16, n, 5/16, n dan ½n. Jumlah kebarangkalian ialah 1: 1/16 + n + 5/16 + n + ½n = 1, maka 2.5n = 5/8 dan n = 1/4.

Min, varians dan sisihan piawai

Sukatan	Rumus
Min	μ = np
Varians	σ² = npq
Sisihan piawai	σ = √(npq)

Contoh 11 (m.s. 162): 95% mempunyai lesen memandu, 160 orang dipilih

p = 0.95, q = 0.05, n = 160. Min = 160 × 0.95 = 152. Varians = 160 × 0.95 × 0.05 = 7.60. Sisihan piawai = √7.6 = 2.76. (5.2.4)

X ~ B(5 000, 0.8). Cari min, varians dan sisihan piawai.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Min = 5 000 × 0.8 = 4 000. Varians = 5 000 × 0.8 × 0.2 = 800. Sisihan piawai = √800 = 28.28.

Menyelesaikan masalah

Contoh 12 (m.s. 163): bilangan minimum kek

12% kek coklat berjisim kurang daripada 1 kg. Cari n minimum supaya P(X ≥ 1) > 0.85.
1 − P(X = 0) > 0.85, maka (0.88)ⁿ < 0.15. Ambil log: n log 0.88 < log 0.15. Oleh sebab log 0.88 negatif, tanda ketaksamaan berbalik: n > log 0.15 / log 0.88 = 14.84. Maka n minimum = 15.

Apabila membahagi dengan log 0.88 (nombor negatif), tanda ketaksamaan berbalik. Bundarkan n ke atas kepada integer seterusnya.

Contoh 13 (m.s. 163): 35% mampu membeli rumah, 10 orang dipilih

Cari kebarangkalian tidak lebih daripada dua orang mampu. X ~ B(10, 0.35). P(X ≤ 2) = 0.0135 + 0.0725 + 0.1757 = 0.2617 (nilai tidak dibundarkan: 0.2616). Semakan: bagi Y = bilangan yang tidak mampu, Y ~ B(10, 0.65) dan P(Y ≥ 8) memberi nilai yang sama. (5.2.5)

5.3Taburan normal

Ciri-ciri graf taburan normal

Apabila saiz sampel n besar, pengiraan binomial menjadi rumit. Taburan binomial boleh dianggarkan dengan taburan normal jika np ≥ 10 dan n(1 − p) ≥ 10.

Taburan normal ialah fungsi kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak selanjar, ditulis X ~ N(μ, σ²). Kebanyakan data terkumpul di tengah, hampir dengan min, dan semakin kurang apabila menjauhi min. Min = median = mod. (5.3.1)

Lengkung berbentuk loceng dan simetri pada garis menegak melalui min, x = μ.
Lengkung ada nilai maksimum pada paksi simetri, dan min membahagikan luas kepada dua bahagian sama (50% dan 50%).
Kedua-dua hujung lengkung berterusan tanpa menyentuh paksi-x.
Jumlah luas di bawah graf ialah 1 unit², iaitu P(−∞ < X < ∞) = 1. Luas ialah kebarangkalian, dan P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b).

Tiga lengkung normal: min 0 sisihan piawai 1, min 0 sisihan piawai 2 (lebih rendah dan lebar) dan min 3 sisihan piawai 1 (bergerak ke kanan) — Min menentukan kedudukan graf. Sisihan piawai menentukan ketinggian dan kelebaran graf.

Perubahan	Kesan pada graf
μ₁ < μ₂	Bentuk tidak berubah; paksi simetri bergerak ke kanan
σ₁ < σ₂	Kedudukan tidak berubah; graf lebih rendah dan lebih lebar (serakan lebih besar)

Contoh 14 dan 15 (m.s. 168)

Contoh 14: graf simetri pada X = 35, dengan rantau berlorek antara 28 dan 42 mempunyai kebarangkalian 0.64. (a) μ = 35. (b) P(28 < X < 42). (c) 28 dan 42 sama jauh (7 unit) daripada min, maka P(X < 28) = P(X > 42) = (1 − 0.64)/2 = 0.18.
Contoh 15: X ~ N(2.3, 0.16). Min = 2.3, sisihan piawai = √0.16 = 0.4.

Dalam X ~ N(μ, σ²), nombor kedua ialah varians. Dalam N(50, 16), σ = √16 = 4, bukan 16.

Hukum bilangan besar

Hukum bilangan besar: semakin besar saiz sampel, semakin kecil variasi rawak, dan min percubaan semakin menghampiri min teori. Contohnya 10 lambungan duit syiling mungkin memberi 7 gambar, tetapi 10 000 lambungan memberi kira-kira 5 000 gambar (m.s. 169, 170).

Taburan normal piawai dan skor piawai

Taburan normal piawai ialah Z ~ N(0, 1), min 0 dan sisihan piawai 1. Sebarang X ~ N(μ, σ²) dipiawaikan kepada Z dengan Z = (X − μ) / σ, yang dipanggil skor-z. (5.3.2, 5.3.3)

Peratusan data dalam lingkungan sisihan piawai: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ dan 99.8% dalam ±3σ daripada min (m.s. 171).

Lengkung normal dengan kawasan 68 peratus dalam satu sisihan piawai, 95 peratus dalam dua dan 99.8 peratus dalam tiga — Peratusan data dalam lingkungan sisihan piawai.

Contoh 16 (m.s. 172)

(a) μ = 30, σ = 8, X = 42: Z = (42 − 30)/8 = 1.5.
(b) μ = 23 m, σ² = 25 m², skor-z = 0.213: σ = 5, 0.213 = (X − 23)/5, X = 23 + 1.065 = 24.065 m.

Kebarangkalian bagi taburan normal

Kebarangkalian dikira selepas pemiawaian: P(a < X < b) = P((a − μ)/σ < Z < (b − μ)/σ). Sifir taburan normal piawai (atau kalkulator saintifik) memberi P(Z > a), luas di hujung kanan. (5.3.4)

Lengkung normal piawai dengan hujung kanan P(Z lebih besar daripada a) dan hujung kiri P(Z kurang daripada tolak a) berlorek — Graf simetri pada Z = 0, maka P(Z > a) = P(Z < −a).

Kebarangkalian yang dicari	Cara mencari
P(Z > a), a ≥ 0	Baca terus daripada sifir
P(Z < −a)	Sama dengan P(Z > a)
P(Z < a) atau P(Z ≤ a)	1 − P(Z > a)
P(0 < Z < a)	0.5 − P(Z > a)
P(\|Z\| > a)	2P(Z > a)
P(\|Z\| < a)	1 − 2P(Z > a)

Lukis graf normal piawai dan lorek kawasan dahulu. Ia menunjukkan sama ada perlu menolak daripada 1 dan sama ada skor-z positif atau negatif. Sifir hanya memberi luas di hujung kanan.

Contoh 17 dan 18 (m.s. 173 hingga 176)

Contoh 17: panjang skru X dengan μ = 10.6 cm, σ = 3.2 cm. P(8.4 < X < 13.2) = P(−0.6875 < Z < 0.8125) = 0.5459.
Contoh 18 (nilai daripada sifir, seperti dalam buku; kalkulator boleh berbeza pada tempat perpuluhan keempat): P(Z > 0.235) = 0.4071; P(Z < −2.122) = 0.0169; P(Z ≥ −1.239) = 0.8924; P(0 < Z < 1.236) = 0.3918; P(|Z| > 2.063) = 2P(Z > 2.063) = 2(0.0196) = 0.0392.

Mencari nilai skor-z atau nilai X

Contoh 19 hingga 21 (m.s. 176 hingga 178)

Contoh 19(a): P(Z > a) = 0.3851, maka a = 0.292. Contoh 19(b): P(Z < a) = 0.3851, graf menunjukkan a negatif, maka a = −0.292.
Contoh 20: X ~ N(45, σ²), P(X > 51) = 0.2888. P(Z > 6/σ) = 0.2888, maka 6/σ = 0.557 dan σ = 10.77.
Contoh 21: X ~ N(μ, 12), P(X > 32) = 0.8438. Maka P(Z < −(32 − μ)/√12) = 0.1562, jadi −(32 − μ)/√12 = 1.01 dan μ = 32 + 1.01√12 = 35.50.

Menyelesaikan masalah

Contoh 22 dan 23 (m.s. 180, 181)

Contoh 22: ketebalan kertas μ = 1.05 mm, σ = 0.02 mm. (a) P(1.02 < X < 1.09) = P(−1.5 < Z < 2) = 1 − 0.0228 − 0.0668 = 0.9104. (b) P(X > 1.08) + P(X < 0.992) = P(Z > 1.5) + P(Z > 2.9) = 0.0687.
Contoh 23: jisim ayam μ = 1.2 kg, σ = 0.3 kg. (a) P(0.95 < X < 1.18) = P(−0.833 < Z < −0.067) = 0.2708, maka 0.2708 × 1 500 = 406 ekor. (b) P(X < m) = 0.1: (m − 1.2)/0.3 = −1.281, maka m = 0.8157 kg. (5.3.5)

X ~ N(60, 25). Cari P(X > 70).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

σ = √25 = 5. Z = (70 − 60)/5 = 2. P(Z > 2) = 0.0228.

Skor-z bagi X = 19.5 apabila μ = 24 dan σ = 6?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Z = (19.5 − 24)/6 = −0.75. Skor-z negatif kerana 19.5 kurang daripada min.