Matematik Tambahan notesnota, bab 6
Fungsi Trigonometri
Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tambahan Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 188–231
What this chapter coversMatlamat bab ini
- Saya boleh mewakilkan sudut positif dan sudut negatif dalam satah Cartes, dalam unit darjah dan radian, serta menentukan sukuan bagi sesuatu sudut (6.1.1)
- Saya boleh mengaitkan sekan, kosekan dan kotangen dengan sinus, kosinus dan tangen, menggunakan rumus sudut pelengkap dan menentukan nilai nisbah trigonometri bagi sebarang sudut (6.2.1, 6.2.2)
- Saya boleh melukis dan melakar graf y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan y = a tan bx + c, termasuk graf bermodulus, serta menyatakan amplitud, kala dan kesan a, b dan c (6.3.1)
- Saya boleh menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf dan menentukan bilangan penyelesaian (6.3.2)
- Saya boleh menerbitkan identiti asas sin²A + kos²A = 1, 1 + tan²A = sek²A dan 1 + kot²A = kosek²A serta membuktikan identiti trigonometri (6.4.1, 6.4.2)
- Saya boleh menggunakan rumus sudut majmuk dan rumus sudut berganda untuk mencari nilai dan membuktikan identiti (6.5.1, 6.5.2, 6.5.3)
- Saya boleh menyelesaikan persamaan trigonometri dan masalah yang melibatkan fungsi trigonometri (6.6.1, 6.6.2)
6Istilah penting
| Bahasa Melayu | English |
|---|---|
| Darjah, radian | Degree, radian |
| Nisbah trigonometri | Trigonometric ratio |
| Sukuan | Quadrant |
| Identiti asas | Basic identities |
| Rumus sudut pelengkap | Complementary angle formula |
| Rumus sudut majmuk | Addition angle formula |
| Rumus sudut berganda | Double angle formula |
Dalam bab ini, sek ialah sekan, kosek ialah kosekan dan kot ialah kotangen. Sinus ditulis sin, kosinus kos dan tangen tan.
6.1Sudut positif dan sudut negatif
Sudut positif ialah sudut yang diukur mengikut lawan arah jam dari paksi-x yang positif. Sudut negatif ialah sudut yang diukur mengikut arah jam dari paksi-x yang positif.
Satu bulatan penuh ialah 360° atau 2π rad. Jika θ > 360°, tolak gandaan 360° (atau 2π rad) sehingga mendapat sudut sepadan dalam 0° ≤ θ ≤ 360° (atau 0 ≤ θ ≤ 2π). Kedudukan sudut itu dalam satah Cartes ialah sukuannya.
| Sukuan | Sudut (darjah) | Sudut (radian) |
|---|---|---|
| I | 0° hingga 90° | 0 hingga π/2 |
| II | 90° hingga 180° | π/2 hingga π |
| III | 180° hingga 270° | π hingga 3π/2 |
| IV | 270° hingga 360° | 3π/2 hingga 2π |
Untuk menukar unit, gunakan π rad = 180° dan 60′ = 1°. Darjah kepada radian: θ° × π/180°. Radian kepada darjah: θ rad × 180°/π. Contoh: 290° 10′ = 290.1667° dan 290.1667° × π/180° = 5.064 rad.
Contoh 1 (m.s. 192): sukuan bagi sudut
(a) 800° − 2(360°) = 80°, jadi 800° = 2(360°) + 80°. Maka, 800° berada di Sukuan I.(b) 19π/6 rad − 2π rad = 7π/6 rad. Oleh sebab π < 7π/6 < 3π/2, 19π/6 rad berada di Sukuan III.
Bagi sudut negatif, tambahkan gandaan 360°. −735° + 3(360°) = 345°, jadi −735° berada di Sukuan IV. Jangan menentukan sukuan daripada tanda negatif sahaja.
Tentukan sukuan bagi (a) 500° (b) −135° (c) −4 rad
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) 500° − 360° = 140°, Sukuan II
(b) −135° + 360° = 225°, Sukuan III
(c) −4 + 2π = 2.283 rad, antara π/2 (1.571) dengan π (3.142), Sukuan II
(b) −135° + 360° = 225°, Sukuan III
(c) −4 + 2π = 2.283 rad, antara π/2 (1.571) dengan π (3.142), Sukuan II
6.2Nisbah trigonometri bagi sebarang sudut
Sekan, kosekan dan kotangen
Dalam segi tiga bersudut tegak: sin θ = sisi bertentangan/hipotenus, kos θ = sisi bersebelahan/hipotenus dan tan θ = sisi bertentangan/sisi bersebelahan. Salingannya ialah kosek θ = 1/sin θ, sek θ = 1/kos θ dan kot θ = 1/tan θ.
Contoh 2 (m.s. 193)
Segi tiga ABC bersudut tegak di B, AB = 8 cm dan BC = 6 cm, dengan θ di A. Maka AC = √(6² + 8²) = 10 cm.kosek θ = 10/6 = 1.667 sek θ = 10/8 = 1.25 kot θ = 8/6 = 1.333
Kalkulator tiada kekunci kosek, sek atau kot. Gunakan salingan: kosek 56° = 1/sin 56° = 1.206, sek 56° = 1/kos 56° = 1.788 dan kot 56° = 1/tan 56° = 0.675 (Contoh 3).
Rumus sudut pelengkap
Sudut A dan sudut B ialah sudut pelengkap jika A + B = 90°. Setiap nisbah bagi θ sama dengan nisbah "ko" bagi 90° − θ.
| sin θ = kos (90° − θ) | kos θ = sin (90° − θ) | tan θ = kot (90° − θ) |
|---|---|---|
| sek θ = kosek (90° − θ) | kosek θ = sek (90° − θ) | kot θ = tan (90° − θ) |
Contoh 4 (m.s. 195)
Diberi sin 77° = 0.9744 dan kos 77° = 0.225. Maka kos 13° = sin 77° = 0.9744, kosek 13° = sek 77° = 1/0.225 = 4.444 dan kot 13° = tan 77° = 0.9744/0.225 = 4.331.Tulis sin 35° sebagai kosinus suatu sudut dan cari kosek 20° betul kepada 3 tempat perpuluhan.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
sin 35° = kos (90° − 35°) = kos 55°
kosek 20° = 1/sin 20° = 2.924
kosek 20° = 1/sin 20° = 2.924
Nilai nisbah bagi sebarang sudut
Terdapat empat kaedah: (1) kalkulator, (2) bulatan unit, (3) sudut rujukan yang sepadan dan (4) segi tiga bersudut tegak bagi sudut khas.
Contoh 6 (m.s. 196): kaedah kalkulator
sin (−215° 12′) = 0.5764. sek (−4.14 rad) = 1/kos (−4.14) = −1.846 (tukar kalkulator ke mod radian).Contoh 7 (m.s. 196): bulatan unit
Pada bulatan unit, kos θ = koordinat-x, sin θ = koordinat-y. Koordinat bagi 135° ialah (−1/√2, 1/√2), jadi kos 135° = −1/√2. Koordinat bagi −π/4 rad ialah (1/√2, −1/√2), jadi kosek (−π/4) = 1/koordinat-y = −√2.
- Tentukan kedudukan sudut pada sukuan.
- Tentukan tanda bagi nisbah trigonometri itu.
- Tentukan sudut rujukan α yang sepadan (Sukuan II: 180° − θ; III: θ − 180°; IV: 360° − θ).
- Gunakan nilai nisbah bagi sudut rujukan itu.
| Sudut | sin | kos | tan | kosek | sek | kot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 30° (π/6) | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |
| 45° (π/4) | 1/√2 | 1/√2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |
Contoh 8 dan 10 (m.s. 197, 199)
(a) sek 150°: Sukuan II, kos negatif, jadi sek negatif. α = 30°, sek 150° = −sek 30° = −2/√3 = −1.155.(b) kos 315° = kos (360° − 315°) = kos 45° = 1/√2.
(c) kot (5π/3) = kot 300° = −kot 60° = −1/√3.
(d) sek (−480°) = sek (−120°) = −sek 60° = −2.
Memberi nilai sudut rujukan tanpa menyemak tanda. kos 240° ialah −1/2, bukan 1/2, kerana kos negatif di Sukuan III.
Cari nilai tepat bagi (a) kos 150° (b) tan 225° (c) kosek 300°
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
(a) Sukuan II, α = 30°, kos negatif: −√3/2
(b) Sukuan III, α = 45°, tan positif: 1
(c) Sukuan IV, sin 300° = −√3/2, jadi kosek 300° = −2/√3
(b) Sukuan III, α = 45°, tan positif: 1
(c) Sukuan IV, sin 300° = −√3/2, jadi kosek 300° = −2/√3
Contoh 9 (m.s. 198)
Diberi kos A = 2/5 dan 270° ≤ A ≤ 360°. Sisi ketiga = √(5² − 2²) = √21. Di Sukuan IV, sin negatif: tan A = −√21/2, sin A = −√21/5 dan sek A = 5/2.6.3Graf fungsi sinus, kosinus dan tangen
Graf fungsi trigonometri
Bagi y = sin x dan y = kos x: nilai maksimum 1, nilai minimum −1, amplitud 1 dan kala 360° atau 2π rad. Bagi y = tan x: tiada nilai maksimum atau minimum, tiada amplitud, kala 180° atau π rad, dan graf mempunyai asimptot pada x = 90° dan x = 270°.
Bagi y = a sin bx + c dan y = a kos bx + c: amplitud = |a| (jika c ≠ 0, amplitud = (nilai maksimum − nilai minimum)/2), bilangan kitaran dalam 0° ≤ x ≤ 360° ialah b, kala = 360°/b (atau 2π/b rad), nilai maksimum = c + |a| dan nilai minimum = c − |a|. Bagi y = a tan bx, kala = 180°/b (π/b rad).
| Graf | Amplitud | Kala | Maksimum, minimum |
|---|---|---|---|
| y = 2 sin 3x | 2 | 120° | 2, −2 |
| y = 3 − 2 kos x | 2 | 360° | 5, 1 |
| y = 3 kos 2x + 2 | 3 | 180° (π rad) | 5, −1 |
| y = tan 2x | tiada | 90° | tiada |
Kesan a, b dan c: a mengubah nilai maksimum dan minimum (a negatif memantulkan graf pada paksi-x); b mengubah bilangan kitaran dan kala; c ialah translasi (0, c), iaitu graf bergerak c unit ke atas atau ke bawah. Untuk melukis graf fungsi trigonometri, kita memerlukan sekurang-kurangnya lapan titik bagi satu kitaran.
Untuk melukis y = a sin bx + c bagi 0 ≤ x ≤ nπ: bilangan kelas = b × n × 2 = m dan saiz selang kelas = nπ/m. Contoh 13: y = 3 sin 2x, 0° ≤ x ≤ 360°: kala 180°, 2 kitaran, bilangan kelas 2 × 2 × 2 = 8, selang kelas 360°/8 = 45°. Titik maksimum (45°, 3) dan (225°, 3), titik minimum (135°, −3) dan (315°, −3).
Contoh 12 (m.s. 205): menyatakan fungsi daripada graf
Graf kosinus mempunyai nilai maksimum 4 dan minimum −4, jadi a = 4. Dua kitaran dalam 0 ≤ x ≤ 2π, jadi kala = π dan b = 2π/π = 2. Maka y = 4 kos 2x.Graf bermodulus
Untuk melukis y = |f(x)|, lukis y = f(x) dahulu, kemudian pantulkan bahagian yang berada di bawah paksi-x pada paksi-x. Untuk y = −|tan x|, lukis y = |tan x| dahulu kemudian pantulkan keseluruhan graf pada paksi-x (Contoh 14).
Graf y = |sin x| tidak lagi mempunyai nilai negatif dan kalanya menjadi π, bukan 2π.
Nyatakan amplitud, kala dan nilai minimum bagi y = 4 sin 2x − 1.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Amplitud 4, kala 360°/2 = 180°, nilai minimum −1 − 4 = −5
6.3Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf
- Ubah persamaan supaya satu bahagian ialah fungsi trigonometri yang diberi.
- Bahagian lagi satu menjadi garis lurus. Lukis kedua-dua graf pada paksi yang sama (garis lurus memerlukan dua titik sahaja).
- Nilai x bagi titik persilangan ialah penyelesaian; bilangan titik persilangan ialah bilangan penyelesaian.
Contoh 16(b) (m.s. 209)
Graf y = 3 kos 2x + 2 bagi 0 ≤ x ≤ π. Untuk 3π kos 2x = 8x − π: 3 kos 2x = 8x/π − 1, tambahkan 2 pada kedua-dua belah, 3 kos 2x + 2 = 8x/π + 1. Lukis garis y = 8x/π + 1 melalui (0, 1) dan (π/4, 3). Garis itu bersilang dengan lengkung sekali, jadi bilangan penyelesaian = 1.Menambah pemalar pada satu belah sahaja. Apa-apa yang dilakukan untuk membentuk lengkung y = 3 kos 2x + 2 mesti dilakukan pada kedua-dua belah persamaan.
Untuk menyelesaikan 2π sin 2x = x dengan graf y = 2 sin 2x, nyatakan persamaan garis lurus yang perlu dilukis.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Bahagikan dengan π: 2 sin 2x = x/π. Garis lurus ialah y = x/π, melalui (0, 0) dan (π, 1).
6.4Identiti asas
Bagi sebarang sudut A: sin²A + kos²A = 1, 1 + tan²A = sek²A dan 1 + kot²A = kosek²A. Juga tan A = sin A/kos A, kot A = kos A/sin A.
Dalam segi tiga ABC bersudut tegak di C, a² + b² = c². Bahagi dengan c² untuk mendapat sin²A + kos²A = 1; bahagi dengan b² untuk mendapat 1 + tan²A = sek²A; bahagi dengan a² untuk mendapat 1 + kot²A = kosek²A.
Contoh 17 dan 18 (m.s. 212-213)
(a) sin²(−430°) + kos²(−430°) = 1.(b) tan²(π/3) − sek²(π/3) = −1.
(c) Buktikan tan A + kot A = sek A kosek A:
tan A + kot A = sin A/kos A + kos A/sin A = (sin²A + kos²A)/(kos A sin A) = 1/(kos A sin A) = sek A kosek A.
Untuk membuktikan identiti: (a) buktikan bahagian yang lebih kompleks, (b) tukarkan kepada bentuk sin dan kos, (c) darabkan dengan konjugat jika perlu. Kerja pada satu belah, atau ringkaskan kedua-dua belah kepada ungkapan yang sama (Contoh 19).
Memindahkan sebutan ke belah lain seolah-olah ia ialah persamaan. Tunjukkan Belah Kiri = Belah Kanan dengan bekerja pada satu belah.
Contoh: buktikan tan²x − sin²x = tan²x sin²x
Belah kiri = sin²x/kos²x − sin²x = sin²x (1/kos²x − 1) = sin²x (1 − kos²x)/kos²x = sin²x · sin²x/kos²x = sin²x tan²x = belah kananRingkaskan (sek²x − 1)/tan x.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
sek²x − 1 = tan²x, jadi ungkapan = tan²x/tan x = tan x
6.5Rumus sudut majmuk dan rumus sudut berganda
Sudut A + B dan A − B ialah sudut majmuk; sudut 2A, 3A, ... ialah sudut berganda.
| Rumus sudut majmuk | Rumus sudut berganda |
|---|---|
| sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B | sin 2A = 2 sin A kos A |
| kos (A ± B) = kos A kos B ∓ sin A sin B | kos 2A = kos²A − sin²A = 2 kos²A − 1 = 1 − 2 sin²A |
| tan (A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B) | tan 2A = 2 tan A/(1 − tan²A) |
Rumus sudut berganda diterbitkan dengan menggantikan B dengan A dalam rumus sudut majmuk. Rumus sudut separuh pula diperoleh daripada kos 2A = 2 kos²A − 1 dan kos 2A = 1 − 2 sin²A: sin (A/2) = ±√((1 − kos A)/2), kos (A/2) = ±√((1 + kos A)/2) dan tan (A/2) = ±√((1 − kos A)/(1 + kos A)).
sin (A + B) bukan sin A + sin B. Cuba A = B = 30°: sin 60° = 0.866 tetapi sin 30° + sin 30° = 1.
Contoh 22 (m.s. 217): nilai tepat
sin 105° = sin (45° + 60°) = sin 45° kos 60° + kos 45° sin 60° = (1/√2)(1/2) + (1/√2)(√3/2) = (√2 + √6)/4.tan 15° = tan (60° − 45°) = (√3 − 1)/(1 + √3) = 2 − √3.
Contoh 23 (m.s. 217): sin A = 3/5, sin B = −12/13
0° < A < 90° dan 90° < B < 270°. Maka kos A = 4/5 dan kos B = −5/13 (B di Sukuan III).sin (A + B) = (3/5)(−5/13) + (4/5)(−12/13) = −15/65 − 48/65 = −63/65.
Contoh 24 (m.s. 219): sudut berganda
(a) 2 sin 15° kos 15° = sin 30° = 1/2. (b) kos²22.5° − sin²22.5° = kos 45° = 1/√2. (c) 2 tan 75°/(1 − tan²75°) = tan 150° = −1/√3.Untuk nisbah yang diberi, lakar segi tiga bersudut tegak dahulu untuk mendapat sisi lain, kemudian semak tanda daripada sukuan.
Diberi tan A = 3/4 dan A sudut tirus, cari sin 2A dan kos 2A.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
Hipotenus 5: sin A = 3/5, kos A = 4/5
sin 2A = 2(3/5)(4/5) = 24/25
kos 2A = 16/25 − 9/25 = 7/25
sin 2A = 2(3/5)(4/5) = 24/25
kos 2A = 16/25 − 9/25 = 7/25
6.6Aplikasi fungsi trigonometri
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Jika julat sudut tidak dinyatakan, bilangan penyelesaian ialah tak terhingga. Dengan julat yang diberi, ikut langkah ini: (1) permudah persamaan dengan identiti jika perlu; (2) tentukan sudut rujukan daripada nilai nisbah tanpa tanda; (3) cari sudut dalam sukuan yang sepadan dengan tanda nisbah; (4) tuliskan semua penyelesaian dalam julat.
Contoh 27(b) (m.s. 222)
kos 2θ = 0.3420 untuk 0° ≤ θ ≤ 360°. α = kos⁻¹(0.3420) = 70°. kos positif, jadi 2θ di Sukuan I dan IV dalam 0° ≤ 2θ ≤ 720°: 2θ = 70°, 290°, 430°, 650°. Maka θ = 35°, 145°, 215°, 325°.Contoh 29(b) (m.s. 223-224)
2 kos 2x − 13 sin x + 10 = 0. Gantikan kos 2x = 1 − 2 sin²x: 4 sin²x + 13 sin x − 12 = 0, (4 sin x − 3)(sin x + 4) = 0. sin x = 0.75 (sin x = −4 diabaikan kerana −1 ≤ sin x ≤ 1). α = 48.59°, sin positif: x = 48.59° dan 131.41°.Persamaan sudut berganda, seperti kos 2x = sin x, ditukar dahulu kepada satu sudut sahaja. Jangan membahagi dengan nisbah yang boleh menjadi sifar kerana penyelesaian akan hilang. Jika kalkulator dalam mod darjah, tukar kepada radian: 19.27° × π/180° = 0.3363 rad.
Berhenti selepas jawapan pertama kalkulator. Gunakan tanda sukuan untuk mencari semua penyelesaian dalam julat dan semak sama ada julat termasuk kedua-dua hujung.
Selesaikan 2 sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360°.
Tunjuk jawapanSembunyi jawapan
sin x = 1/2, α = 30°, sin positif di Sukuan I dan II: x = 30°, 150°
Menyelesaikan masalah
Ikut empat langkah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat refleksi. Contoh 30 (m.s. 224-226) menggunakan tan 3θ = tan (θ + 2θ) untuk menunjukkan tinggi bangunan h = √(80 − x²) m; jika x = 4 m, h = 8 m, dan semakan memberi tan 3θ = 2 = 8/4.
Contoh: kelajuan darat pesawat
Kelajuan darat v = 540 sin 150°/sin θ km j⁻¹ dengan tan θ = 3/4 dan 0° < θ < 180°. Oleh sebab tan θ positif, θ tirus dan sin θ = 3/5. Maka v = 540 (1/2)/(3/5) = 450 km j⁻¹.