Matematik notesnota, bab 2

Matriks

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 34–71

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh mewakilkan maklumat situasi sebenar dalam bentuk matriks (2.1.1)
Saya boleh menentukan peringkat matriks dan mengenal pasti unsur tertentu dalam suatu matriks (2.1.2)
Saya boleh menentukan sama ada dua matriks adalah sama (2.1.3)
Saya boleh menambah dan menolak matriks (2.2.1)
Saya boleh mendarab matriks dengan suatu nombor (2.2.2)
Saya boleh mendarab dua matriks (2.2.3)
Saya boleh menerangkan ciri-ciri matriks identiti (2.2.4)
Saya boleh menerangkan maksud matriks songsang dan menentukan matriks songsang bagi suatu matriks 2 × 2 (2.2.5)
Saya boleh menggunakan kaedah matriks untuk menyelesaikan persamaan linear serentak (2.2.6)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks (2.2.7)

2.1Matriks

Matriks ialah nombor-nombor yang disusun dalam baris (mengufuk) dan lajur (mencancang) untuk membentuk satu tatasusun segi empat tepat atau segi empat sama. Matriks lazimnya diwakili dengan huruf besar dan ditulis dalam tanda kurung [ ] atau ( ).

Mewakilkan maklumat dalam bentuk matriks (2.1.1)

Jadual data boleh ditulis sebagai matriks dengan mengekalkan nombor sahaja. Kedai Elektrik Sinar Jaya menjual 16 kipas angin berdiri, 18 kipas siling dan 11 kipas dinding di kedai, serta 5, 10 dan 4 unit dalam talian pada bulan Mac. Data ini menjadi matriks peringkat 2 × 3.

Matriks A dengan baris 16, 18, 11 dan 5, 10, 4. Label baris dan lajur, unsur a23 = 4 dibulatkan dan peringkat 2 darab 3. — Baris dikira dahulu, kemudian lajur. Unsur yang dibulatkan berada pada baris ke-2 dan lajur ke-3.

Jenis matriks

Jenis	Maksud	Contoh (daripada Contoh 1, m.s. 37)
Matriks baris	hanya satu baris (peringkat 1 × n)	1700210020001800
Matriks lajur	hanya satu lajur (peringkat m × 1)	1700210020001800
Matriks segi empat sama	bilangan baris sama dengan bilangan lajur	13511024889
Matriks segi empat tepat	bilangan baris berbeza daripada bilangan lajur	768082887270

Matriks sifar, O, ialah matriks dengan semua unsurnya sifar, misalnya O = 0000. Bagi matriks A yang sama peringkat dengan O, A + O = A dan A − O = A.

Contoh 1 (m.s. 37): mewakilkan maklumat dalam bentuk matriks

Dalam Ujian 1, Samad mendapat 76 markah untuk Bahasa Melayu, 82 untuk Matematik dan 72 untuk Sejarah; Hamid mendapat 80, 88 dan 70.
Setiap orang menjadi satu lajur: 768082887270 (3 baris, 2 lajur: segi empat tepat). Jika setiap orang ditulis sebagai satu baris, matriksnya 768272808870.

Susun maklumat dalam matriks dengan konsisten: nombor dalam jadual disalin ikut kedudukan asalnya. Tajuk baris dan tajuk lajur tidak masuk dalam matriks, jadi tuliskan dahulu maksud setiap baris dan lajur.

Suatu pameran teknologi 5G dikunjungi oleh 857 orang remaja, 3 180 orang dewasa dan 211 orang warga emas (Latih Kendiri 2.1a, m.s. 38). Wakilkan maklumat itu dalam bentuk matriks.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Matriks baris 8573180211 atau matriks lajur 8573180211.

Peringkat matriks dan unsur matriks (2.1.2)

Matriks dengan m baris dan n lajur mempunyai peringkat m × n, dibaca “matriks m dengan n”. Setiap nombor dalam matriks ialah unsur. Unsur pada baris ke-i dan lajur ke-j bagi matriks A ditulis a_ij.

Peringkat sentiasa baris × lajur. Matriks dengan 3 baris dan 2 lajur berperingkat 3 × 2, bukan 2 × 3. Begitu juga a₂₃ bermaksud “baris 2, lajur 3” dan bukan sebaliknya. a₂₁ dibaca “a dua satu”.

Contoh 2 dan 3 (m.s. 39): peringkat dan unsur

P = 3−79, Q = 45 dan R = 15−203728−4116193−15.
Peringkat P ialah 1 × 3, peringkat Q ialah 2 × 1 dan peringkat R ialah 4 × 4.
p₁₃ = 9 (baris pertama, lajur ke-3), q₂₁ = 5 dan r₃₄ = 1 (baris ke-3, lajur ke-4).
Bagi D = −250419: peringkat 3 × 2, d₁₁ = −2, d₂₁ = 0, d₃₂ = 9.

Diberi B = 1−16204. Hitung b₁₂ + b₂₁ (Latih Kendiri 2.1b, no. 4).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

b₁₂ = −16 dan b₂₁ = 20, jadi b₁₂ + b₂₁ = −16 + 20 = 4.

Matriks yang sama (2.1.3)

M = N jika dan hanya jika kedua-dua matriks mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama.

Contoh 4 (m.s. 41): sama atau tidak?

(a) 21113 = 21113: sama, kerana peringkat sama dan setiap unsur sepadan sama.
(b) C = 39 dan D = 39: C ≠ D kerana peringkat C ialah 1 × 2 manakala peringkat D ialah 2 × 1.
(c) 83−70 ≠ 8−730: unsur sepadan tidak sama.
Nombor perpuluhan dan pecahan yang bernilai sama, seperti 0.5 dan ½, dikira sama.

Contoh 5 (m.s. 41): mencari nilai yang tidak diketahui

Diberi x705 − 3z = 5y + 102z. Tentukan x, y dan z.
Unsur sepadan sama: x = 5; 7 = y + 1, maka y = 6; 5 − 3z = 2z, maka 5 = 5z dan z = 1.

Matriks baris [3 9] dan matriks lajur dengan dua nombor yang sama tidak sama, kerana peringkat 1 × 2 dan 2 × 1 berbeza.

Diberi 603y2z − 3−5 = x032−2−5 (Latih Kendiri 2.1c, no. 2a). Cari x, y dan z.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

x = 6; y = 2; 2z − 3 = −2, maka 2z = 1 dan z = ½.

2.2Operasi asas matriks

Menambah dan menolak matriks (2.2.1)

Penambahan dan penolakan matriks hanya boleh dilaksanakan pada matriks yang sama peringkat. Unsur yang sepadan ditambah atau ditolak untuk mendapat satu matriks yang sama peringkat.

Jualan kipas angin bulan Mac ialah P = 1618115104, bulan April Q = 201597125 dan bulan Mei R = 152110102410. Jumlah jualan Mac dan April ialah P + Q = 36332012229. Perbezaan jualan Mei dengan April ialah R − Q = −5613125.

Secara am, abcd ± efgh = a ± eb ± fc ± gd ± h.

Contoh 6 dan 7 (m.s. 43): boleh atau tidak, dan hasilnya

A (2 × 3) dan B (2 × 2): tidak boleh, kerana peringkat berbeza. C = [1 12] dan D = [0 −4]: boleh, kerana kedua-duanya 1 × 2.
C = 10−846−117, D = 14−21−359: C + D = 24−1053−616.

Contoh 8 (m.s. 44): persamaan matriks

Diberi 2x − 1−3−125 + y + x27y = 8−1−513.
Tambah unsur sepadan: 3x − 1−1−55 + 2y = 8−1−513. Maka 3x − 1 = 8, x = 3; 5 + 2y = 13, y = 4.

Contoh 9 dan 10 (m.s. 44): mencari matriks dan masalah stok

F + 16−3 − 710 = −23, maka F = −23 − 16−3 + 710 = −1116.
Stok akhir = stok awal + buku baharu diterima − buku hilang dan rosak = [326 335 82] + [56 47 15] − [32 26 11] = [350 356 86]. Stok akhir buku Sains, Matematik dan Ekonomi masing-masing ialah 350, 356 dan 86.

Jika persamaan matriks mengandungi huruf, bentuk satu matriks pada setiap sebelah, kemudian bandingkan unsur sepadan untuk mendapat persamaan biasa.

Encik Gopal mempunyai kedai A dan kedai B. Pendapatan (makanan, minuman): A RM2 650 dan RM1 890; B RM1 560 dan RM910. Perbelanjaan: A RM930 dan RM850; B RM540 dan RM260. Hitung keuntungan setiap kedai (Latih Kendiri 2.2a, no. 7).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

265018901560910 − 930850540260 = 172010401020650; jumlah keuntungan kedai A ialah RM2 760 dan kedai B ialah RM1 670.

Mendarab matriks dengan suatu nombor (2.2.2)

Mendarab matriks A dengan nombor n ialah penambahan berulang, nA = A + A + … + A (n kali). Maka darabkan setiap unsur dengan n. Nombor n dikenali sebagai skalar dan prosesnya ialah pendaraban skalar: nabcd = nanbncnd.

Contoh 11 (m.s. 46): pendaraban skalar

D = −5421. 3D = −151263; −½D = 5⁄2−2−1−1⁄2.

Daripada MobiLIsasi Minda 1 (m.s. 47): penambahan matriks mematuhi hukum kalis tukar tertib (A + B = B + A) dan hukum kalis sekutuan ((A + B) + C = A + (B + C)); penolakan tidak (A − B ≠ B − A). Penambahan dan penolakan matriks mematuhi hukum kalis agihan, h(A ± B) = hA ± hB.

Contoh 12 (m.s. 48): 3(P − Q)

P = 79−38612, Q = 2−31504. Selesaikan kurungan dahulu: P − Q = 512−4368, maka 3(P − Q) = 1536−1291824.

Contoh 13 dan 14 (m.s. 48-49): persamaan dan masalah

4R + 902−3 = −34101. Maka 4R = −12484 dan R = ¼−12484 = −3121.
Parkir: Jadual X (hari bekerja) = 4282011, Jadual Y (hujung minggu) = 255123. Dalam seminggu, 5X + 2Y = 2605012461.

Skalar mendarab setiap unsur, termasuk unsur negatif dan pecahan: −2 darab 2⁄58 ialah −4⁄5−16. Jangan darabkan unsur pertama sahaja.

Diberi P = 4−206 dan Q = 13−52. Hitung 2P − 3Q.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

2P = 8−4012 dan 3Q = 39−156; 2P − 3Q = 5−13156.

Mendarab dua matriks (2.2.3)

A berperingkat m darab n dan B berperingkat n darab p memberi AB berperingkat m darab p. Dua nombor n di tengah mesti sama. — AB boleh dilakukan jika bilangan lajur A = bilangan baris B. Peringkat AB ialah bilangan baris A × bilangan lajur B.

Jika A berperingkat m × n dan B berperingkat n × p, pendaraban AB boleh dilakukan dan peringkat AB ialah m × p. Setiap unsur AB ialah hasil tambah darab unsur baris A dengan unsur lajur B yang sepadan.

Komisen jualan setiap kipas berdiri, siling dan dinding ialah RM25, RM30 dan RM20, ditulis sebagai matriks lajur K. Maka PK = 1618115104253020 = 16(25) + 18(30) + 11(20)5(25) + 10(30) + 4(20) = 1160505: komisen RM1 160 di kedai dan RM505 dalam talian. Peringkat PK ialah 2 × 1.

Contoh 15 dan 16 (m.s. 51): boleh atau tidak, dan hasil darab

C berperingkat 2 × 1 dan D berperingkat 2 × 2. CD tidak boleh kerana bilangan lajur C (1) tidak sama dengan bilangan baris D (2). DC boleh kerana bilangan lajur D (2) sama dengan bilangan baris C (2); peringkat DC ialah 2 × 1.
AB = 23156−7−21 = (2)(6) + (3)(−2)(2)(−7) + (3)(1)(1)(6) + (5)(−2)(1)(−7) + (5)(1) = 6−11−4−2.

Contoh 17 (m.s. 52): peringkat menentukan hasil

E = 5−10−487, F = −27, G = 43.
GE (1 × 2 dan 2 × 3) = 82021, berperingkat 1 × 3. FG (2 × 1 dan 1 × 2) = −8−62821, berperingkat 2 × 2. GF (1 × 2 dan 2 × 1) = 13, berperingkat 1 × 1. Jadi FG ≠ GF.

Pendaraban matriks tidak mematuhi hukum kalis tukar tertib: secara amnya AB ≠ BA, dan kadangkala salah satu tidak boleh dilakukan. Periksa peringkat sebelum mendarab. Juga L² = LL, bukan setiap unsur dikuasaduakan.

Contoh 18 (m.s. 52-53): kuasa dua dan kuasa tiga

L = −4201. L² = LL = 16−601; L³ = L²L = −642601.
Bagi K = 32−154−2: KL² = 48−16−161164−26.

Contoh 19 (m.s. 53): persamaan matriks

Diberi [6x −5]2314 = [7 1 − y]. Hasil darab ialah [12x − 5 18x − 20]. Maka 12x − 5 = 7, x = 1; 18(1) − 20 = 1 − y, −2 = 1 − y, y = 3.

Contoh 20 (m.s. 53): masalah pelaburan

Khairil membeli 5 000 unit saham A dan 4 000 unit saham B; Mahmud membeli 2 000 dan 6 000 unit. Harga seunit ialah RM1.50 dan RM0.82.
Jumlah pelaburan Khairil = 5 000(1.50) + 4 000(0.82) = 7 500 + 3 280 = RM10 780; Mahmud = 2 000(1.50) + 6 000(0.82) = 3 000 + 4 920 = RM7 920.

Diberi A = 2−134 dan B = 105−2. Hitung AB dan BA. Adakah AB = BA?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

AB = −3223−8; BA = 2−14−13. AB ≠ BA.

Matriks identiti (2.2.4)

Matriks identiti, I, ialah matriks segi empat sama dengan unsur 1 di sepanjang pepenjuru utama (dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah) dan unsur lain sifar. Bagi matriks A yang sesuai, AI = IA = A.

Misalnya I berperingkat 2 × 2 ialah 1001 dan I berperingkat 3 × 3 ialah 100010001. Matriks identiti tidak mengubah matriks yang didarab dengannya, seperti a × 1 = a.

Matriks yang unsur 1 tidak berada di pepenjuru utama, atau matriks yang bukan segi empat sama, ialah bukan matriks identiti (Latih Kendiri 2.2d, m.s. 56).

Contoh 21 (m.s. 56): menulis matriks identiti

1 × 1: [1]. 2 × 2: 1001. 4 × 4: unsur 1 pada kedudukan (1,1), (2,2), (3,3) dan (4,4), unsur lain sifar. 5 × 5: lima unsur 1 di pepenjuru utama.

Diberi S = 7263. Apakah SI jika I ialah matriks identiti 2 × 2?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

SI = 7263 = S.

Matriks songsang dan penentu (2.2.5)

Jika AB = BA = I, maka B ialah matriks songsang bagi A dan sebaliknya. Matriks songsang A ditulis A⁻¹ (bukan 1/A) dengan AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Hanya matriks segi empat sama boleh mempunyai matriks songsang, tetapi tidak semua matriks segi empat sama mempunyai matriks songsang.

Misalnya 21533−1−52 = 1001, maka kedua-dua matriks itu songsang antara satu sama lain.

Bagi A = abcd, penentu A ialah |A| = ad − bc. Jika ad − bc ≠ 0, maka A⁻¹ = 1/(ad − bc) d−b−ca. Jika ad − bc = 0, matriks songsang tidak wujud.

Cara mengingat: tukar kedudukan a dan d (pepenjuru utama), darabkan b dan c dengan −1, kemudian darabkan dengan 1/(ad − bc). Semak dengan AA⁻¹ = I.

Contoh 23 dan 24 (m.s. 60): kewujudan dan nilai matriks songsang

A = 1248: ad − bc = 8 − 8 = 0, maka A⁻¹ tidak wujud.
B = 3524: |B| = 12 − 10 = 2, maka B⁻¹ = ½4−5−23 = 2−5⁄2−13⁄2.
C = 2−61−2: |C| = 2(−2) − (−6)(1) = 2, maka C⁻¹ = ½−26−12 = −13−1⁄21.

Contoh 25 (m.s. 61): mencari nilai m

D = m−61−2.
(a) D tiada matriks songsang jika ad − bc = −2m + 6 = 0, maka m = 3.
(b) Jika D⁻¹ = −13−1⁄21, daripada DD⁻¹ = I, unsur baris 1 lajur 1: m(−1) + (−6)(−1⁄2) = −m + 3 = 1, maka m = 2.

Contoh 26 (m.s. 61): mencari matriks daripada hasil darab

1238A = 1001, maka A ialah matriks songsang bagi 1238: A = 1/(8 − 6) 8−2−31 = 4−1−3⁄21⁄2.

Hitung matriks songsang bagi 2345.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

|A| = 10 − 12 = −2. A⁻¹ = −½5−3−42 = −5⁄23⁄22−1.

Diberi G = 213p. Hitung nilai p jika G tiada matriks songsang (Latih Kendiri 2.2f, no. 3a).

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

2p − 3 = 0, maka p = 3/2.

Persamaan linear serentak dengan kaedah matriks (2.2.6)

Persamaan linear serentak ax + by = p dan cx + dy = q ditulis sebagai abcdxy = pq, iaitu AX = B. Pekali x membentuk lajur pertama A, pekali y membentuk lajur kedua A dan pemalar membentuk B. Darabkan kedua-dua belah dengan A⁻¹ di sebelah kiri: A⁻¹AX = A⁻¹B, IX = A⁻¹B, maka X = A⁻¹B, iaitu xy = 1/(ad − bc) d−b−capq.

Contoh 27 (m.s. 63): 3x + 4y = 12 dan 5x − 6y = 7 ditulis sebagai 345−6xy = 127.

Contoh 28 (m.s. 63): selesaikan x − 2y = 1 dan 3x − 4y = 4

1−23−4xy = 14. |A| = (1)(−4) − (−2)(3) = 2.
xy = ½−42−3114 = ½41 = 21⁄2. Maka x = 2 dan y = ½.

Susun setiap persamaan dalam bentuk ax + by = p dahulu (pindahkan sebutan, buang pecahan jika perlu) sebelum menulis matriks. Semak dengan menggantikan x dan y ke dalam kedua-dua persamaan.

Selesaikan 3x + y = 11 dan x − y = 1 dengan kaedah matriks.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

311−1xy = 111; |A| = −3 − 1 = −4; X = −¼−1−1−13111 = 32. Maka x = 3, y = 2.

Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks (2.2.7)

Gunakan langkah bagi buku teks: memahami masalah (tentukan pemboleh ubah), merancang strategi (bentuk dua persamaan linear, tulis AX = B), melaksanakan strategi (X = A⁻¹B) dan membuat kesimpulan (nyatakan jawapan dengan unit).

Contoh 29 (m.s. 64): harga tiket

2 tiket kanak-kanak dan sekeping tiket dewasa berharga RM32; 5 tiket kanak-kanak dan 3 tiket dewasa berharga RM88. Katakan x = harga tiket kanak-kanak, y = harga tiket dewasa.
2x + y = 32, 5x + 3y = 88: 2153xy = 3288. |A| = 6 − 5 = 1; X = 3−1−523288 = 816.
Tiket kanak-kanak RM8 dan tiket dewasa RM16.

Contoh 30 (m.s. 65): kamera K dan kamera L

Pemasangan: 10 minit bagi K dan 10 minit bagi L; pembungkusan: 5 minit dan 9 minit. Bahagian Pemasangan beroperasi 12 jam (720 minit) dan Bahagian Pembungkusan 9 jam (540 minit) sehari.
10x + 10y = 720, 5x + 9y = 540. |A| = 90 − 50 = 40; X = 1/40 9−10−510720540 = 1/40 10801800 = 2745. Dihasilkan 27 kamera K dan 45 kamera L sehari.

Tukar unit dahulu (12 jam kepada 720 minit) supaya semua pekali dan pemalar menggunakan unit yang sama. Jawapan akhir mesti disertai maksud dan unit, bukan hanya nilai x dan y.

Puan Komala membeli 4 kg betik dan 2 kg pisang dengan RM26. Puan Lily membeli 5 kg betik dan 3 kg pisang dengan RM35 (Latih Kendiri 2.2h, no. 3). Cari harga sekilogram betik dan sekilogram pisang dengan kaedah matriks.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

4x + 2y = 26, 5x + 3y = 35: |A| = 12 − 10 = 2; X = ½3−2−542635 = 45. Betik RM4 sekilogram dan pisang RM5 sekilogram.

★Arena Rumusan, Refleksi dan projek

Arena Rumusan (m.s. 67)

Perkara	Ringkasan
Matriks, peringkat, unsur	Peringkat m × n; a_ij ialah unsur baris ke-i, lajur ke-j. Matriks sama jika peringkat sama dan unsur sepadan sama.
Tambah dan tolak	Hanya untuk matriks sama peringkat; tambah atau tolak unsur sepadan.
Pendaraban skalar	Darabkan setiap unsur dengan skalar.
Darab dua matriks	(m × n)(n × p) memberi m × p; baris darab lajur; AB ≠ BA secara amnya.
Matriks identiti	I segi empat sama, 1 di pepenjuru utama; AI = IA = A.
Matriks songsang	A⁻¹ = 1/(ad − bc) [d −b; −c a], ad − bc ≠ 0; AA⁻¹ = A⁻¹A = I.
Persamaan linear serentak	AX = B, X = A⁻¹B.

Refleksi (m.s. 68)

Pada akhir bab ini, semak sama ada anda boleh: mewakilkan maklumat situasi sebenar dalam bentuk matriks; menentukan peringkat dan mengenal pasti unsur; menentukan sama ada dua matriks sama; menambah dan menolak matriks; mendarab matriks dengan suatu nombor; mendarab dua matriks; menerangkan ciri matriks identiti; menerangkan maksud matriks songsang dan menentukan matriks songsang bagi matriks 2 × 2; menggunakan kaedah matriks untuk menyelesaikan persamaan linear serentak; dan menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks.

Projek Mini (m.s. 68)

Rangkaian laluan bas boleh ditulis sebagai matriks. Bucu P, Q, R, S dan T mewakili bandar manakala tepi mewakili laluan bas. Baris ialah bandar asal (Dari) dan lajur ialah bandar destinasi (Ke); unsur 1 bermaksud ada laluan terus dan 0 bermaksud tiada.

Lima bandar P, Q, R, S, T. Laluan antara P dan Q, P dan R, Q dan R, R dan S, serta S dan T. — Rangkaian laluan bas lima bandar (dilukis semula mengikut Projek Mini, m.s. 68).

Matriks laluan (baris dan lajur mengikut urutan P, Q, R, S, T): 0110010100110100010100010. Unsur baris 3 lajur 4 ialah 1 kerana ada laluan terus dari R ke S. Dalam projek anda, laporkan pengenalan sistem pengangkutan awam di kawasan anda, penggunaan matriks untuk mewakilkan sistem laluan itu, dan maksud unsur dalam matriks.

Latih Ekstensif (m.s. 69-70)

Soalan di akhir bab dikelaskan kepada tiga tahap. FAHAM (no. 1-5): bilangan baris dan lajur, peringkat hasil darab, nilai penentu, E + E + E = 3E dan menulis persamaan serentak dalam bentuk matriks. MASTERI (no. 6-11): GH = HG, mencari B daripada AB = I, persamaan matriks dengan pecahan dan perpuluhan, F³, mencari p dan q daripada hasil darab, dan menyelesaikan 2y − x = 5, 3x − 8y = −19. CABAR (no. 12-16): masalah peserta maraton, persamaan tanpa penyelesaian (p = −2q), markah keseluruhan dengan matriks, diet dan komisen pendingin hawa. Set ulang kaji bab ini memuat soalan setara dan jawapannya.

Terokai Matematik: kriptografi (m.s. 71)

Setiap huruf diberi nombor (A = 1, B = 2, …, ruang = 0). Mesej ditulis sebagai matriks 2 × 1, didarab dengan kunci penyulitan M = 2−110; hasil negatif ditambah 30. Penyahsulitan menggunakan K = 01−12, iaitu matriks songsang M. Contohnya “GURU KELAS” menjadi pasangan (7, 21), (18, 21), (0, 11), (5, 12), (1, 19). Pasangan pertama: M721 = −77, tambah 30 pada −7 memberi 23 dan 7, iaitu “WG”. Mesej penuh yang disulitkan ialah “WGORS ?EMA”. Menyahsulit dengan K memulangkan “GURU KELAS”.

Nota ini mengikut buku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), Bab 2 Matriks, m.s. 34–71. Contoh dikira semula; rajah dilukis semula dengan label Bahasa Melayu.