Matematik notesnota, bab 6

Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 172-195

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membuat dan menentusahkan konjektur tentang nilai sinus, kosinus dan tangen sudut dalam sukuan II, III dan IV dengan sudut rujukan sepadan (6.1.1)
Saya boleh menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV berdasarkan sudut rujukan sepadan, dengan kalkulator saintifik dan tanpa kalkulator bagi 30°, 45° dan 60° (6.1.2)
Saya boleh menentukan sudut apabila nilai sinus, kosinus dan tangen sudut tersebut diberi (6.1.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sinus, kosinus dan tangen (6.1.4)
Saya boleh melukis graf fungsi trigonometri y = sin x, y = kos x dan y = tan x bagi 0° ≤ x ≤ 360° serta membandingbezakan ciri-ciri graf fungsi tersebut (6.2.1)
Saya boleh mengkaji dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan pemalar a, b dan c bagi graf y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan y = a tan bx + c bagi a > 0, b > 0 (6.2.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan graf fungsi sinus, kosinus dan tangen (6.2.3)

6.1Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut θ, 0° ≤ θ ≤ 360°

Bulatan unit ialah bulatan yang berjejari 1 unit dan berpusat di asalan O. Paksi-x dan paksi-y membahagikan bulatan unit kepada 4 sukuan yang sama: sukuan I, II, III dan IV. Titik P bergerak di sepanjang lilitan dan θ ialah sudut yang dibentuk oleh jejari OP dari paksi-x yang positif, mengikut arah lawan jam.

Sukuan I: 0° < θ < 90°; sukuan II: 90° < θ < 180°
Sukuan III: 180° < θ < 270°; sukuan IV: 270° < θ < 360°

6.1.1 Sudut rujukan sepadan

Sudut rujukan sepadan, α, ialah sudut tirus (sentiasa kurang daripada 90°) di antara jejari OP dengan paksi-x. Sudut dalam sukuan II, III dan IV mempunyai sudut rujukan sepadan; sudut dalam sukuan I itu sendiri ialah sudut rujukan sepadan, α = θ.

Sukuan	Sudut θ	Sudut rujukan sepadan α
I	0° < θ < 90°	α = θ
II	90° < θ < 180°	α = 180° − θ
III	180° < θ < 270°	α = θ − 180°
IV	270° < θ < 360°	α = 360° − θ

Empat sukuan dengan fungsi yang bernilai positif dalam setiap sukuan dan rumus sudut rujukan sepadan — Tanda nilai sin θ, kos θ dan tan θ serta sudut rujukan sepadan dalam setiap sukuan (Arena Rumusan, m.s. 192).

Tip Bestari: Sukuan I: Semua positif; sukuan II: sin θ positif; sukuan III: tan θ positif; sukuan IV: kos θ positif. Gunakan akronim yang sesuai untuk mengingatnya. Hanya fungsi yang dinamakan bernilai positif; dua fungsi lain bernilai negatif.

Hubungan dengan sudut rujukan sepadan (Mobilisasi Minda 1, m.s. 174-176): nilai fungsi bagi θ sama dengan nilai bagi α, dengan tanda sukuan.

Sukuan	sin θ	kos θ	tan θ
II	+ sin α	− kos α	− tan α
III	− sin α	− kos α	+ tan α
IV	− sin α	+ kos α	− tan α

Contoh 1 dan 2 (m.s. 176-177): sukuan, sudut rujukan sepadan dan hubungan

138° terletak dalam sukuan II, α = 180° − 138° = 42°.
239° terletak dalam sukuan III, α = 239° − 180° = 59°.
312° terletak dalam sukuan IV, α = 360° − 312° = 48°.
Maka sin 167° = sin 13°, kos 258° = −kos 78° dan tan 349° = −tan 11°.

Jangan guna θ − 180° bagi sukuan II atau 180° − θ bagi sukuan III. Lakar sukuan dahulu, kemudian pilih rumus. Jika sudut diberi 498° (lebih daripada 360°), tolak 360° dahulu: 498° − 360° = 138°, sudut rujukan sepadannya 42° (Minda Kritis, m.s. 176).

6.1.2 Nilai sinus, kosinus dan tangen

Dalam bulatan unit, titik P ialah (x, y) (Mobilisasi Minda 2, m.s. 177). Maka:

Bulatan unit dengan jejari OP pada sudut θ; koordinat P ialah kos θ dan sin θ — Bagi titik P pada bulatan unit: kos θ = koordinat-x dan sin θ = koordinat-y.

sin θ = koordinat-y
kos θ = koordinat-x
tan θ = koordinat-ykoordinat-x = yx (tidak tertakrif apabila x = 0, iaitu pada 90° dan 270°)

Contoh 3 (m.s. 178): nilai sin θ, kos θ dan tan θ daripada koordinat

(a) P(0.4695, 0.8829): sin θ = 0.8829, kos θ = 0.4695, tan θ = 0.88290.4695 = 1.8805.
(b) P(−0.8387, −0.5446): sin θ = −0.5446, kos θ = −0.8387, tan θ = −0.5446−0.8387 = 0.6493.

Nilai daripada sudut rujukan sepadan

Tentukan sukuan dan sudut rujukan sepadan α.
Tentukan tanda positif atau negatif daripada akronim sukuan.
Hitung nilai bagi α dengan kalkulator saintifik dalam mod "Deg".

Contoh 4 (m.s. 179): menggunakan kalkulator

sin 104° = +sin (180° − 104°) = +sin 76° = 0.9703
kos 208.2° = −kos (208.2° − 180°) = −kos 28.2° = −0.8813
tan 318°17′ = −tan (360° − 318°17′) = −tan 41°43′ = −0.8915

i-Teknologi: untuk tan 41°43′, tekan tan 41 °′″ 43 °′″ =. Pastikan paparan kalkulator menunjukkan mod "Deg", bukan "Rad".

Sudut 30°, 45° dan 60° tanpa kalkulator

Segi tiga sama sisi bersisi 2 unit dan segi tiga bersudut tegak sama kaki dengan sisi 1, 1 dan punca kuasa dua 2, serta jadual nilai sin dan kos bagi 30°, 60° dan 45° — Segi tiga dan nilai bagi 30°, 45° dan 60° (Kotak Memori).

Rajah daripada buku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), m.s. 180.

Sudut	sin θ	kos θ	tan θ
30°	12	√32	1√3
45°	1√2	1√2	1
60°	√32	12	√3

Contoh 5 (m.s. 180): tanpa kalkulator saintifik

kos 150° = −kos (180° − 150°) = −kos 30° = −√32
tan 225° = +tan (225° − 180°) = +tan 45° = 1
sin 300° = −sin (360° − 300°) = −sin 60° = −√32

Semak cepat. Tanpa kalkulator, cari sin 210° dan kos 315°.

Tunjukkan jawapan

210° dalam sukuan III, α = 30°, sin θ negatif: sin 210° = −12.
315° dalam sukuan IV, α = 45°, kos θ positif: kos 315° = 1√2 = √22.

Diberi sin θ = √32, cari kos θ dan tan θ (Latih Kendiri 6.1c, soalan 2). θ ialah 60° (sukuan I) atau 120° (sukuan II). Sukuan I: kos θ = 12, tan θ = √3. Sukuan II: kos θ = −12, tan θ = −√3. Dua sukuan memberi dua jawapan.

6.1.3 Menentukan sudut apabila nilai fungsi diberi

Kenal pasti sukuan berdasarkan tanda positif atau negatif pada nilai fungsi trigonometri.
Tentukan sudut rujukan sepadan (guna nilai tanpa tanda pada kalkulator).
Hitung sudut θ berdasarkan sukuan yang dikenal pasti.

Contoh 6 (m.s. 181)

(a) sin θ = 0.6157 positif: sukuan I atau II. α = sin⁻¹ 0.6157 = 38°. θ = 38° atau 180° − 38° = 142°.
(b) kos θ = −0.4226 negatif: sukuan II atau III. α = kos⁻¹ 0.4226 = 65°. θ = 115° atau 245°.
(c) tan θ = −1.4826 negatif: sukuan II atau IV. α = tan⁻¹ 1.4826 = 56°. θ = 124° atau 304°.

Jika anda menaip sin⁻¹ (−0.5), kalkulator memberi sudut negatif. Gunakan nilai positif untuk mendapatkan α, kemudian letakkan α dalam sukuan yang betul.

6.1.4 Menyelesaikan masalah

Lukis situasi, gunakan teorem Pythagoras untuk melengkapkan segi tiga bersudut tegak, kemudian tulis nilai bagi sudut rujukan sepadan dengan tanda sukuan.

Contoh 7 (m.s. 182): tanda dalam rajah

QRS ialah garis lurus, QS = 8 cm dan QR = RS. P ialah 3 cm dari Q dengan PQ serenjang dengan QS.
QR = 8 ÷ 2 = 4 cm, PR = √(3² + 4²) = 5 cm.
(a) 270° < x < 360°, sukuan IV, ∠QPR ialah sudut rujukan sepadan: kos x = +kos ∠QPR = +35.
(b) 90° < y < 180°, sukuan II, ∠PRQ ialah sudut rujukan sepadan: tan y = −tan ∠PRQ = −34.

Contoh 8 (m.s. 182-183): lengan robotik

Lengan robotik 15 cm. Diberi kos θ = −0.866 dengan 0° ≤ θ ≤ 180°. Tanda negatif: sukuan II. α = kos⁻¹ 0.866 = 30°, maka θ = 180° − 30° = 150°.
QR = 15 sin 30° = 7.5 cm; OR = 15 kos 30° = 12.99 cm; PR = 15 + 12.99 = 27.99 cm.
PQ = √(7.5² + 27.99²) = 28.98 cm.

Semak cepat. Diberi sin θ = 35 dan 90° < θ < 180°, cari kos θ dan tan θ.

Tunjukkan jawapan

Segi tiga 3, 4, 5: kos α = 45 dan tan α = 34. Dalam sukuan II, kos θ dan tan θ negatif: kos θ = −45, tan θ = −34.

6.2Graf fungsi sinus, kosinus dan tangen

6.2.1 Graf y = sin x, y = kos x dan y = tan x bagi 0° ≤ x ≤ 360°

Mobilisasi Minda 3 (m.s. 184-185): lengkapkan jadual nilai bagi x = 0°, 15°, 30°, ... 90° dan lukis graf dengan skala 2 cm kepada 30° pada paksi-x dan 2 cm kepada 1 unit pada paksi-y.

Graf sinus yang bermula pada 0, naik ke 1 pada 90 darjah, dan graf kosinus yang bermula pada 1, bagi 0 hingga 360 darjah — y = sin x dan y = kos x bagi 0° ≤ x ≤ 360°. Bentuk gelombang yang sama, dianjak sebanyak 90°.

Graf tangen bagi 0 hingga 360 darjah dengan garis putus-putus menegak pada 90 dan 270 darjah — y = tan x. Garis putus-putus pada 90° dan 270°: nilai tan x tidak tertakrif.

	y = sin x	y = kos x	y = tan x
Nilai maksimum	1 apabila x = 90°	1 apabila x = 0° dan 360°	∞
Nilai minimum	−1 apabila x = 270°	−1 apabila x = 180°	−∞
Pintasan-x	0°, 180°, 360°	90°, 270°	0°, 180°, 360°
Pintasan-y	0	1	0

Ciri-ciri daripada buku teks m.s. 185-186 dan Arena Rumusan m.s. 192.

Graf tangen tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum yang terhingga. Nilai tan 90° dan tan 270° tidak tertakrif kerana kos 90° = kos 270° = 0 dan pembahagian dengan sifar tidak tertakrif (Minda Kritis, m.s. 186).

Tempoh ialah selang satu kitaran lengkap; fungsi trigonometri ialah fungsi berkala. Graf y = sin x berulang bagi setiap selang 360°, maka tempohnya 360°. Amplitud ialah jarak maksimum yang diukur dari garis keseimbangan: amplitud = nilai maksimum − nilai minimum2.

Semak cepat. Graf manakah yang bermula pada y = 1 apabila x = 0° dan memintas paksi-x pada 90° dan 270°?

Tunjukkan jawapan

Graf kosinus, y = kos x (nilai maksimum 1 apabila x = 0° dan 360°, pintasan-y = 1).

6.2.2 Kesan perubahan pemalar a, b dan c

Bagi y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan y = a tan bx + c dengan a > 0, b > 0 (Mobilisasi Minda 4, m.s. 188):

Pemalar	Kesan
a	Nilai maksimum dan nilai minimum berubah; amplitud fungsi = a. (Graf tangen tiada amplitud; lengkung graf berubah.)
b	Tempoh berubah. Tempoh fungsi sinus dan kosinus = 360°b; tempoh fungsi tangen = 180°b. Apabila b bertambah, graf kelihatan mampat secara mengufuk dan tempoh semakin berkurang.
c	Kedudukan graf berubah. Apabila c > 0, graf beranjak c unit ke atas; apabila c < 0, graf beranjak c unit ke bawah. Garis keseimbangan ialah y = c.

Empat graf sinus: y = sin x, y = 2 sin x yang lebih tinggi, y = sin 2x dengan dua kitaran dan y = sin x + 1 yang dianjak ke atas — Perubahan a, b dan c satu demi satu (Contoh 9, m.s. 189).

Contoh 9 dan 10 (m.s. 189): lakar y = 2 kos x + 1

a = 2: amplitud 2. b = 1: tempoh 360°. c = +1: garis keseimbangan y = 1.
Maksimum = 1 + 2 = 3 apabila x = 0° dan 360°. Minimum = 1 − 2 = −1 apabila x = 180°. Pintasan-y = 3.
Bagi y = tan 0.5x − 1: tempoh = 180°0.5 = 360°, graf beranjak 1 unit ke bawah, tiada amplitud.

Nilai maksimum dan minimum ialah c + a dan c − a, bukan a dan −a. Tempoh bagi y = sin 2x ialah 180°, bukan 720°: bahagi, jangan darab.

Untuk menulis model y = a sin bx + c daripada graf: a = 12(maksimum − minimum), c = 12(maksimum + minimum), kemudian b = 360°tempoh.

Semak cepat. Nyatakan amplitud, tempoh, nilai maksimum dan nilai minimum bagi y = 3 kos 2x − 1.

Tunjukkan jawapan

Amplitud 3. Tempoh = 360° ÷ 2 = 180°. Maksimum = −1 + 3 = 2. Minimum = −1 − 3 = −4.

6.2.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan graf fungsi trigonometri

Contoh 11 (m.s. 190-191): kitaran pernafasan

Halaju aliran udara mempunyai amplitud 0.6 dan berulang setiap 5 saat, tanpa anjakan menegak. a = 0.6, 360°b = 5 maka b = 72, c = 0. Fungsinya y = 0.6 sin 72x.
Apabila x = 7: y = 0.6 sin (72 × 7) = 0.6 sin 504° = 0.6 sin 144° = 0.35 liter per saat.

Latih Kendiri 6.2c, soalan 2 (m.s. 191): cahaya rumah api

Lampu isyarat rumah api berjarak 500 m dari pantai dan sinar cahaya membentuk sudut x dengan garis serenjang ke pantai. s = 500 tan x. Fungsi tangen tiada amplitud dan tempohnya 180° (b = 1).

Rumusan bab (Arena Rumusan, m.s. 192)

sin θ = koordinat-y, kos θ = koordinat-x, tan θ = yx dalam bulatan unit.
Sukuan II: α = 180° − θ; sukuan III: α = θ − 180°; sukuan IV: α = 360° − θ.
Tempoh sin dan kos = 360°b; tempoh tan = 180°b; amplitud = a; garis keseimbangan y = c.

Projek Mini (m.s. 193): terangkan perbezaan modulasi amplitud (radio AM) dengan modulasi frekuensi (radio FM) menggunakan ciri-ciri graf fungsi trigonometri. Terokai Matematik (m.s. 195): fungsi trigonometri dalam pergerakan watak permainan komputer.