Matematik notesnota, bab 7

Sukatan Serakan Data Terkumpul

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 196–225

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh membina histogram dan poligon kekerapan bagi suatu set data terkumpul (7.1.1)
Saya boleh membanding dan mentafsir serakan dua atau lebih set data terkumpul berdasarkan histogram dan poligon kekerapan, seterusnya membuat kesimpulan (7.1.2)
Saya boleh membina ogif bagi suatu set data terkumpul dan seterusnya menentukan kuartil dan persentil (7.1.3)
Saya boleh menentukan julat, julat antara kuartil, varians dan sisihan piawai sebagai sukatan untuk menghuraikan serakan bagi data terkumpul (7.2.1)
Saya boleh membina dan mentafsir plot kotak bagi suatu set data terkumpul (7.2.2)
Saya boleh membanding dan mentafsir dua atau lebih set data terkumpul berdasarkan sukatan serakan yang sesuai, seterusnya membuat kesimpulan (7.2.3)
Saya boleh menyelesaikan masalah yang melibatkan sukatan serakan bagi data terkumpul (7.2.4)
Saya boleh mereka bentuk dan melaksanakan projek mini yang melibatkan penyiasatan statistik berdasarkan sukatan kecenderungan memusat dan sukatan serakan serta mentafsir dan mengkomunikasikan dapatan kajian (7.2.5)

7.1Serakan

Menyusun data terkumpul

Data terkumpul ialah data mentah yang disusun dalam selang kelas pada jadual kekerapan. Histogram dan poligon kekerapan hanya dibina bagi data selanjar (data yang diukur, seperti tinggi atau masa).

Istilah	Cara menentukan	Kelas 150 – 154
Had bawah, had atas	Nilai terkecil dan nilai terbesar yang ditulis dalam kelas itu	150 dan 154
Titik tengah	(had bawah + had atas) ÷ 2	152
Sempadan bawah	(had atas kelas sebelumnya + had bawah kelas itu) ÷ 2	149.5
Sempadan atas	(had atas kelas itu + had bawah kelas selepasnya) ÷ 2	154.5
Saiz selang kelas	(nilai data terbesar − nilai data terkecil) ÷ bilangan kelas; atau sempadan atas − sempadan bawah	154.5 − 149.5 = 5

Jangan hitung saiz selang kelas daripada had satu kelas sahaja (154 − 150 = 4 adalah salah). Gunakan beza antara dua had bawah (atau dua had atas) yang berturutan, atau beza antara sempadan.

Contoh 1 (m.s. 199): tinggi 20 orang murid Tingkatan 5

Data terbesar 173 cm dan data terkecil 145 cm. Untuk 6 kelas, saiz selang kelas = (173 − 145) ÷ 6 = 4.7, maka diambil 5. Kelas: 145 – 149, 150 – 154, 155 – 159, 160 – 164, 165 – 169 dan 170 – 174 dengan kekerapan 2, 3, 6, 5, 3 dan 1.
Bagi kelas 145 – 149: had bawah 145, had atas 149, titik tengah 147, sempadan bawah 144.5, sempadan atas 149.5.

Kekerapan longgokan bagi suatu kelas ialah kekerapan kelas itu ditambah dengan jumlah kekerapan semua kelas sebelumnya (tertib menaik). Nilai itu memberitahu berapa banyak data yang berada pada atau di bawah sempadan atas kelas tersebut.

Contoh 2 (m.s. 200): kekerapan longgokan

Umur 10 – 19, 20 – 29, 30 – 39, 40 – 49 dan 50 – 59 dengan kekerapan 4, 5, 8, 7 dan 3.
Kekerapan longgokan: 4, 4 + 5 = 9, 9 + 8 = 17, 17 + 7 = 24 dan 24 + 3 = 27. Nilai 17 bermaksud 17 orang berumur 39 tahun dan kurang.

Histogram dan poligon kekerapan

Histogram: palang-palang yang bersebelahan tanpa jarak. Lebar palang = saiz selang kelas, dilukis dari sempadan bawah hingga sempadan atas. Tinggi palang = kekerapan.
Poligon kekerapan: tandakan titik tengah pada hujung atas setiap palang, kemudian sambungkan dengan garis lurus. Tambah satu kelas dengan kekerapan sifar sebelum kelas pertama dan satu selepas kelas terakhir supaya poligon bermula dan berakhir pada paksi mengufuk. Poligon boleh dibina tanpa melukis histogram dahulu.

Histogram laju kereta dengan poligon kekerapan di atasnya. Kekerapan 5, 10, 20, 30, 25 dan 10; palang tertinggi ialah 99.5 hingga 109.5 — Laju kereta (km j⁻¹): histogram dengan poligon kekerapannya. Tepi palang ialah sempadan kelas.

Dilukis semula daripada Contoh 3, buku teks m.s. 201.

Histogram dan poligon kekerapan dibina bagi data selanjar. Data diskret (hasil pengiraan, seperti bilangan murid) tidak sesuai kerana nilainya tidak bersambung.

Suatu kelas ialah 30 – 34 dan kelas sebelumnya ialah 25 – 29. Nyatakan sempadan bawah, sempadan atas dan titik tengah kelas 30 – 34.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Sempadan bawah = (29 + 30) ÷ 2 = 29.5. Sempadan atas = (34 + 35) ÷ 2 = 34.5. Titik tengah = (30 + 34) ÷ 2 = 32.

Bentuk taburan dan perbandingan serakan

Bentuk taburan dikenal pasti daripada histogram atau poligon kekerapan. Taburan simetri jika bentuk dan saiznya hampir sama apabila dibahagi kepada bahagian kiri dan kanan (bentuk loceng atau seragam). Taburan pencong jika satu hujung histogram lebih panjang daripada hujung yang lain.

Tiga histogram: simetri, pencong ke kanan dengan ekor panjang di kanan dan pencong ke kiri dengan ekor panjang di kiri — Taburan pencong dinamakan mengikut sebelah **ekor yang lebih panjang**.

Bentuk	Apa yang kelihatan	Maksudnya
Simetri (loceng atau seragam)	Bahagian kiri dan kanan hampir sama	Nilai tertabur sekata di sekeliling tengah
Pencong ke kanan	Puncak di kiri, ekor panjang di kanan	Kebanyakan nilai rendah, sedikit nilai sangat tinggi
Pencong ke kiri	Puncak di kanan, ekor panjang di kiri	Kebanyakan nilai tinggi, sedikit nilai sangat rendah

Buku teks juga menyebut bentuk lain: bentuk-U, bentuk-J, bentuk-J songsang dan bimod (dua puncak). Bentuk taburan tidak selalunya sempurna, jadi kenal pasti bentuk keseluruhan.

Contoh 5 (m.s. 204 – 205): dua histogram acara renang

Dua histogram menunjukkan masa 25 orang perenang bagi 100 m gaya kuak lentang dan 100 m gaya bebas.
(a) Gaya kuak lentang: bentuk loceng. Gaya bebas: seragam.
(b) Gaya kuak lentang mempunyai serakan yang lebih luas kerana beza masa yang diambil lebih besar, iaitu 30 saat (102 s − 72 s).
(c) Gaya bebas kerana kebanyakan catatan masa perenang adalah lebih baik (lebih pendek).

Contoh 6 (m.s. 205): dua poligon kekerapan harga rumah

Poligon kawasan A mempunyai puncak di sebelah harga rendah dengan ekor ke kanan, jadi taburannya pencong ke kanan. Poligon kawasan B mempunyai puncak di sebelah harga tinggi, jadi pencong ke kiri. Kawasan A mewakili kawasan luar bandar kerana kebanyakan harga rumahnya rendah, dan kawasan B mewakili bandar kerana kebanyakan harga rumahnya tinggi.

Untuk membanding serakan, lihat sebaran data pada paksi mengufuk: sebaran yang lebih luas bermakna serakan yang lebih besar. Kemudian katakan taburan mana yang lebih baik dengan melihat di mana kebanyakan nilai berada, dan berikan sebab yang merujuk kepada graf.

Ogif, kuartil dan persentil

Ogif ialah graf kekerapan longgokan melawan sempadan atas. Langkah: tambah satu kelas dengan kekerapan sifar sebelum kelas pertama, plot kekerapan longgokan pada sempadan atas yang sepadan, kemudian lukis lengkung licin melalui semua titik. Hasilnya berbentuk S.

Histogram longgokan dibina seperti histogram biasa tetapi paksi mencancang mewakili kekerapan longgokan. Ogif ialah lengkung yang melalui hujung atas kanan setiap palang histogram longgokan itu.

Kuartil membahagikan data kepada empat bahagian yang sama. Bagi N data, kuartil dibaca daripada ogif pada kekerapan longgokan N/4 (Q₁), N/2 (Q₂, median) dan 3N/4 (Q₃). Garis mengufuk dilukis dari kedudukan itu hingga bertemu lengkung, kemudian garis mencancang ke paksi mengufuk untuk membaca nilainya.

Ogif kandungan garam 60 jenis makanan dengan garis putus-putus pada kekerapan longgokan 15, 30 dan 45 yang bertemu lengkung berhampiran 199.5, 249.5 dan 285 mg — Kandungan garam dalam 60 jenis makanan: N = 60, maka kedudukan kuartil ialah 15, 30 dan 45.

Dilukis semula daripada Contoh 7, buku teks m.s. 207 – 208. Bacaan buku: Q₁ = 199.5 mg, Q₂ = 249.5 mg dan Q₃ = 284.5 mg (bacaan daripada lengkung licin; garis lurus di sini memberi kira-kira 285 mg).

Persentil ialah nilai yang membahagikan satu set data kepada 100 bahagian yang sama, diwakili oleh P₁, P₂, …, P₉₉. Kedudukan P_k pada paksi kekerapan longgokan = (k ÷ 100) × N. Maka P₂₅ = Q₁, P₅₀ = Q₂ dan P₇₅ = Q₃.

Contoh 8 (m.s. 209 – 210): skor ujian kecerdasan, N = 50

(a)(i) P₁₀: 10% × 50 = 5, daripada ogif P₁₀ = 46.5. (ii) P₄₆: 46% × 50 = 23, daripada ogif P₄₆ = 63.5.
(b) Calon pada persentil ke-92 dan ke atas dipanggil: 92% × 50 = 46, P₉₂ = 77, jadi skor minimum ialah 77.
(c) Skor 57 sepadan dengan kekerapan longgokan 15, maka 15 ÷ 50 × 100 = 30% calon mendapat skor 57 dan ke bawah.

Plot kekerapan longgokan melawan sempadan atas, bukan titik tengah atau had atas. Titik permulaan ialah (sempadan bawah kelas pertama, 0).

Suatu ogif dilukis bagi 200 data. Pada kekerapan longgokan berapakah Q₃ dan P₃₅ dibaca?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Q₃: ¾ × 200 = 150. P₃₅: 35% × 200 = 70.

7.2Sukatan serakan

Julat dan julat antara kuartil

Julat = titik tengah kelas tertinggi − titik tengah kelas terendah.
Julat antara kuartil = Q₃ − Q₁. Nilai Q₁ dan Q₃ ditentukan daripada ogif. Ia ialah beza antara nilai tertinggi dengan nilai terendah bagi 50% bahagian tengah taburan, dan tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem.

Contoh 9 (m.s. 211): jisim nanas

Kelas tertinggi 900 – 999 dan kelas terendah 400 – 499. Julat = 949.5 − 449.5 = 500 g.
N = 80: kedudukan Q₁ = ¼ × 80 = 20 dan kedudukan Q₃ = ¾ × 80 = 60. Daripada ogif buku, Q₁ = 614.5 g dan Q₃ = 809.5 g, maka julat antara kuartil = 809.5 − 614.5 = 195 g.

Varians dan sisihan piawai

Varians σ² = Σfx² ÷ Σf − x̄², dengan x ialah titik tengah selang kelas, f ialah kekerapan dan x̄ = Σfx ÷ Σf ialah min. Sisihan piawai σ = √varians, dalam unit yang sama dengan data asal.

Contoh bekerja: markah 20 orang murid

Markah	f	Titik tengah x	fx	fx²
10 – 19	6	14.5	87	1 261.5
20 – 29	10	24.5	245	6 002.5
30 – 39	3	34.5	103.5	3 570.75
40 – 49	1	44.5	44.5	1 980.25
Jumlah	20		480	12 815

Min = 480 ÷ 20 = 24. Varians = 12 815 ÷ 20 − 24² = 640.75 − 576 = 64.75. Sisihan piawai = √64.75 = 8.05.

Contoh 10 (m.s. 212): isi padu air yang digunakan

Σf = 95, Σfx = 17 417.5 dan Σfx² = 3 215 133.75. Min = 17 417.5 ÷ 95 = 183.34 ℓ. Varians = 3 215 133.75 ÷ 95 − (183.34…)² = 229.19 ℓ². Sisihan piawai = √229.1856 = 15.14 ℓ.

Semak jawapan dengan kalkulator: tekan MODE dan pilih mod SD, masukkan setiap titik tengah dengan kekerapannya (kekunci SHIFT , untuk kekerapan, kemudian M+). Tekan SHIFT 2 dan pilih 1 untuk min (x̄) atau 2 untuk sisihan piawai (σ_n, sisihan piawai populasi).

Gunakan titik tengah dalam jadual, bukan had kelas. Kuasa duakan titik tengah dahulu (x²), kemudian darabkan dengan f. Tolak juga kuasa dua min (x̄²), bukan min itu sendiri.

Bagi 40 data, Σfx = 1 200 dan Σfx² = 38 000. Cari varians dan sisihan piawai.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Min = 1 200 ÷ 40 = 30. Varians = 38 000 ÷ 40 − 30² = 950 − 900 = 50. Sisihan piawai = √50 = 7.07.

Plot kotak

Plot kotak memaparkan lima nilai: minimum, kuartil pertama, median, kuartil ketiga dan maksimum. Bagi data terkumpul, Q₁, Q₂ dan Q₃ dibaca daripada ogif, manakala minimum dan maksimum ialah nilai pada hujung paksi mengufuk ogif. Setiap bahagian (dua sungut dan dua bahagian kotak) mengandungi 25% data.

Dilukis semula daripada Contoh 11, buku teks m.s. 214. N = 90: kedudukan 22.5, 45 dan 67.5 memberi Q₁ = 116, Q₂ = 123 dan Q₃ = 128.

Tiga plot kotak: simetri, pencong ke kiri dan pencong ke kanan — Bentuk taburan daripada plot kotak.

Plot kotak	Taburan
Garis median di tengah kotak dan kedua-dua sungut sama panjang	Simetri
Bahagian kiri kotak lebih besar (atau sungut kiri lebih panjang)	Pencong ke kiri
Bahagian kanan kotak lebih besar (atau sungut kanan lebih panjang)	Pencong ke kanan

Membanding dua set data

Bandingkan min dahulu: set mana yang lebih besar atau lebih baik secara purata.
Kemudian bandingkan sisihan piawai: nilai yang lebih kecil bermakna data lebih konsisten (lebih dekat dengan min).
Buat kesimpulan dalam ayat yang sesuai dengan soalan, seperti "lebih besar dan lebih konsisten", dan beri justifikasi.

Contoh 12 (m.s. 215 – 216): diameter kelopak bunga raya hibrid A dan B

Hibrid A: min 14.35 cm, σ = 0.64 cm. Hibrid B: min 14.1 cm, σ = 0.7 cm.
Hibrid A menghasilkan kelopak yang lebih mekar kerana minnya lebih besar (14.35 cm > 14.1 cm) dan sisihan piawainya lebih kecil (0.64 cm < 0.7 cm), menunjukkan diameter kelopak yang lebih konsisten.

Menyelesaikan masalah

Ikut empat langkah penyelesaian masalah: memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi dan membuat kesimpulan.

Contoh 13 (m.s. 217 – 218): daripada ogif kepada min dan sisihan piawai

Ogif masa yang diambil oleh pelanggan membeli barang (N = 80) dibaca pada 6, 22, 54, 70 dan 80. Kekerapan setiap kelas ialah beza antara dua kekerapan longgokan yang berturutan: 6, 22 − 6 = 16, 54 − 22 = 32, 70 − 54 = 16 dan 80 − 70 = 10 bagi kelas 0.5 – 0.9, 1.0 – 1.4, 1.5 – 1.9, 2.0 – 2.4 dan 2.5 – 2.9 jam.
Titik tengah 0.7, 1.2, 1.7, 2.2, 2.7: Σfx = 140 dan Σfx² = 268.8. Min = 140 ÷ 80 = 1.75 jam. Sisihan piawai = √(268.8 ÷ 80 − 1.75²) = √0.2975 = 0.55 jam.

Dua graf pada satu paksi memudahkan perbandingan: ogif dua set data atau ogif dan plot kotak pada graf yang sama. Bacaan yang sama (misalnya median dan Q₃) menunjukkan set mana yang berprestasi lebih baik.

Kelas P: min 62, σ = 9. Kelas Q: min 58, σ = 6. Kelas mana yang lebih baik secara purata dan kelas mana yang lebih konsisten?

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kelas P mempunyai min yang lebih tinggi (62 > 58). Kelas Q lebih konsisten kerana sisihan piawainya lebih kecil (6 < 9).

Projek mini penyiasatan statistik

Projek buku teks (m.s. 219 – 221) menyiasat tahap kesihatan murid mengikut jantina dan tingkatan melalui Indeks Jisim Tubuh (BMI). Laporan perlu merangkumi aspek berikut.

Soal selidik (jantina, tinggi, jisim) dan kaedah pengumpulan data: pilih responden secara rawak, bilangan yang sama bagi setiap jantina dan tingkatan.
Mengorganisasi data dalam jadual kekerapan dengan selang kelas yang sesuai, dan perwakilan grafik (histogram, poligon kekerapan).
Analisis: kira sukatan kecenderungan memusat dan sukatan serakan; BMI = berat (kg) ÷ [tinggi (m) × tinggi (m)]; bina ogif untuk menentukan peratusan murid dalam kategori "kurang berat badan" dan "obes" berdasarkan jadual BMI mengikut umur.
Huraian dan rumusan: satu kesimpulan tentang tahap kesihatan setiap jantina dan tingkatan, serta cadangan bagi murid yang bermasalah.