Matematik notesnota, bab 8

Pemodelan Matematik

Notes made with reference toNota dibuat dengan rujukan kepada TextbookBuku teks Matematik Tingkatan 5 (KSSM), pageshalaman 226–243

What this chapter coversMatlamat bab ini

Saya boleh menerangkan pemodelan matematik, perbezaan antara soalan masalah dan soalan terbuka, serta enam komponen proses pemodelan matematik (8.1.1)
Saya boleh membuat andaian, mengenal pasti pemboleh ubah, menentusahkan dan mentafsir penyelesaian, memurnikan model dan melaporkan dapatan (8.1.2)
Saya boleh menyelesaikan masalah kehidupan sebenar melalui pemodelan matematik yang melibatkan fungsi linear, kuadratik dan eksponen dengan mengkaji pola graf data (8.1.2)
Saya boleh membina dan menggunakan model faedah kompaun A(t) = P(1 + r/n)^nt serta mengkomunikasikan proses pemodelan yang dilaksanakan (8.1.2)

8.1aApakah itu pemodelan matematik?

Model matematik ialah suatu perwakilan bagi satu sistem atau senario yang digunakan untuk memperoleh kefahaman secara kualitatif dan/atau kuantitatif bagi masalah dunia sebenar serta meramalkan perlakuan masa depan. Pemodelan matematik ialah proses membina, menggunakan dan memurnikan model itu.

Misalnya, rumus I = Prt ialah satu model yang menunjukkan hubungan antara faedah mudah, I, dengan prinsipal, P, kadar faedah, r, dan masa, t.

Soalan masalah dan soalan terbuka

	Soalan dalam bentuk masalah	Soalan terbuka (masalah dunia sebenar)
Maklumat	Semua maklumat yang diperlukan diberi	Maklumat tidak mencukupi: kita perlu mencari atau mengandaikannya
Jawapan	Satu jawapan yang betul	Beberapa model dan jawapan yang sah mungkin diperoleh
Contoh	40 000 penduduk, 45% mengitar semula, 5 botol seorang seminggu: berapa botol?	Berapa lamakah masa yang diperlukan untuk membersihkan tumpahan minyak di lautan?

Pemodelan matematik paling sesuai untuk soalan terbuka: soalan yang memerlukan pengetahuan matematik dan kreativiti.

Enam komponen dalam pemodelan matematik

Carta alir: mengenal pasti dan mendefinisikan masalah, membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah, mengaplikasi matematik, menentusahkan dan mentafsir penyelesaian, memurnikan model, melaporkan dapatan; garis putus-putus ulang jika perlu — Proses pemodelan matematik (m.s. 230 dan 241). Model dimurnikan dan kitaran diulang jika perlu.

Komponen	Apakah yang dilakukan
1. Mengenal pasti dan mendefinisikan masalah	Nyatakan apa yang hendak dicari; senaraikan maklumat yang diperlukan dan sumbernya (misalnya Internet)
2. Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah	Permudahkan situasi; beri huruf kepada setiap kuantiti (pemboleh ubah ialah kuantiti yang tidak diketahui nilainya)
3. Mengaplikasi matematik untuk menyelesaikan masalah	Bina model (persamaan, ketaksamaan, jadual atau graf) dan buat pengiraan
4. Menentusahkan dan mentafsir penyelesaian dalam konteks masalah berkenaan	Adakah penyelesaian menangani masalah? Adakah rasional apabila diterjemahkan kembali ke dunia sebenar?
5. Memurnikan model matematik	Ubah andaian yang tidak realistik, kemudian ulang
6. Melaporkan dapatan	Gunakan simbol dan rajah; nyatakan kekuatan dan kelemahan model

Andaian biasanya dimulakan dengan pemboleh ubah yang paling mudah. Setelah masalah diselesaikan, andaian yang lebih rumit boleh dipertimbangkan (Tip Bestari, m.s. 231).

Menganggap contoh dalam buku sebagai templat. Buku teks menegaskan bahawa contoh itu bukan templat: setiap individu ada idea, kemahiran dan persepsi yang berbeza, jadi model dan jawapan yang berlainan mungkin sama-sama sah.

Satu model lengkap: berbaloikah memandu ke pasar raya yang lebih murah?

M.s. 230-232: pasar raya A dekat, pasar raya B lebih murah tetapi lebih jauh. Beli dua kampit beras 10 kg.

Andaian: rumah, pasar raya A dan pasar raya B berada pada satu garis lurus; pergi ke pasar raya dengan memandu kereta; bilangan kampit dan cap beras yang dibeli sama di kedua-dua pasar raya.
Pemboleh ubah: s = jarak antara pasar raya A dengan B (km); P₁, P₂ = harga sekampit beras 10 kg di A dan B (RM); m = kadar penggunaan petrol (km per liter); n = bilangan kampit; H = harga petrol (RM per liter); S = beza harga beras (RM); T = beza kos petrol (RM).
Model:
S = (P₁ − P₂) × n
T = sm × H × 2 (× 2 kerana perjalanan pergi dan balik)
Jika S > T, lebih jimat membeli beras di pasar raya B. Jika S ≤ T, kita tidak wajar memandu ke B.

Penggunaan: P₁ = 25.95, P₂ = 23.99, n = 2, s = 6, m = 17.6, H = 2.08
S = (25.95 − 23.99) × 2 = RM3.92 T = 617.6 × 2.08 × 2 = RM1.42
S > T, maka wang yang dapat dijimatkan ialah RM3.92 − RM1.42 = RM2.50.

Model yang baik menjawab soalan lanjut. Dengan nombor yang sama, (1) jarak s optimum ialah s < 16.6 km, dan (2) harga maksimum di pasar raya B ialah P₂ < RM25.24.

Refleksi, memurnikan model dan melaporkan dapatan

Refleksi: Adakah andaian relevan? Adakah jawapan yang bernilai negatif boleh diperoleh? Bagaimana jika andaian tidak betul atau senario berubah sedikit? Adakah keputusan berubah banyak?
Memurnikan model: jika rumah, pasar raya A dan pasar raya B tidak terletak pada satu garis lurus, andaian itu perlu diubah dan model dibina semula.
Melaporkan dapatan: gunakan simbol dan rajah; nyatakan kekuatan dan kelemahan model. Model ini tidak mengambil kira nilai masa pemandu dan kesan kepada alam sekitar (pelepasan karbon dioksida).

Rumah dan pasar raya A sejauh 2 km, pasar raya B sejauh 4 km tegak dari A; jarak rumah ke B ialah garis serong — Jika tiga tempat tidak segaris (m.s. 233), jarak rumah ke B ialah √(2² + 4²) ≈ 4.47 km dan model perlu diubah.

Nyatakan dua andaian bagi pemodelan soalan "Adakah lebih murah memasak di rumah berbanding membeli makan tengah hari selama seminggu?"

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Mana-mana dua andaian yang munasabah, misalnya: harga bahan mentah dan harga makanan tidak berubah sepanjang minggu; bilangan hidangan sehari sama; kos gas dan elektrik diabaikan atau tetap; tiada makanan yang dibazirkan.

Contoh 1 (m.s. 234): Jeremy menyimpan RM4 000 dengan faedah mudah 1.5% setahun untuk membeli komputer berharga RM4 455. Berapa lamakah tempoh penyimpanan?

(a) Masalah: faedah yang diperlukan = RM4 455 − RM4 000 = RM455. Kita mencari tempoh simpanan dalam tahun.
(b) Andaian: kadar faedah tidak berubah (jika tidak, I = Prt tidak sah); harga komputer tidak berubah.
Pemboleh ubah: I = faedah, P = prinsipal, r = kadar faedah, t = masa dalam tahun.

Teruskan Contoh 1: gunakan I = Prt untuk mencari tempoh simpanan Jeremy.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

I = 455, P = 4 000, r = 0.015
455 = 4 000 × 0.015 × t = 60t
t = 455 ÷ 60 ≈ 7.58, maka kira-kira 7.6 tahun; jika faedah dikreditkan setiap tahun penuh, Jeremy perlu menyimpan 8 tahun.

Latih Kendiri 8.1a no. 1 (m.s. 234): bot ke hulu mengambil 6 jam, balik ke hilir 5 jam, kelajuan arus 2 km j^-1. Cari kelajuan bot di atas air tenang dan jarak antara dua tempat.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Andaian: kelajuan arus dan kelajuan bot tidak berubah. Pemboleh ubah: v = kelajuan bot di atas air tenang, s = jarak antara dua tempat.
Ke hulu: s = 6(v − 2); ke hilir: s = 5(v + 2).
6v − 12 = 5v + 10, maka v = 22 km j^-1 dan s = 6 × 20 = 120 km.

8.1bMenyelesaikan masalah dengan model linear, kuadratik dan eksponen

Memilih jenis fungsi dengan mengkaji pola graf

Mobilisasi Minda 1 (m.s. 235): kenal pasti jenis fungsi daripada pola data. Kadar denyutan nadi rehat yang menurun apabila jam senaman bertambah menyerupai fungsi linear; populasi harimau yang menurun makin perlahan menyerupai fungsi eksponen; keuntungan yang naik kemudian turun menurut tahun menyerupai fungsi kuadratik.

Tiga graf: garis lurus (linear), parabola (kuadratik), lengkung yang naik semakin cepat (eksponen) — Kaji pola titik data untuk memilih model (m.s. 236).

Fungsi	Graf	Bentuk
Linear	Satu garis lurus	y = mx + c; y = kx jika berubah secara langsung
Kuadratik	Lengkung berbentuk parabola; mungkin naik kemudian turun atau turun kemudian naik	y = ax² + bx + c
Eksponen	Lengkung yang menunjukkan kenaikan atau penurunan nilai data pada kadar yang mendadak	y = Ca^x, a nombor nyata positif, a ≠ 1, C ialah nilai awal

Contoh: jika C = 1 dan a = 2, graf y = 2^x naik dengan cepat dan melalui titik (0, 1). Bagi asas e = 2.7182818284, graf y = e^x naik dan y = e^−x turun (Buletin Ilmiah, m.s. 236).

Model linear (Contoh 2, m.s. 236-237)

Kereta Amin menggunakan 45 liter petrol untuk 405 km. Berapa liter petrol bagi perjalanan 198 km?

Andaian: kelajuan memandu bagi kedua-dua perjalanan sama. Pemboleh ubah: x = jarak (km), y = petrol (liter); y berubah secara langsung dengan x, maka y = kx.
Selesaikan: 45 = k(405), k = 45405 = 19, maka y = 19x.
x = 198: y = 19 × 198 = 22 liter.
Tentusah: jika perjalanan 405 km melalui jalan raya yang menghubungkan pekan dan bandar manakala 198 km menerusi lebuh raya, kadar penggunaan petrol berbeza, maka model linear tidak sesuai digunakan untuk situasi itu.

Garis lurus melalui asalan dan melalui titik (198, 22) dan (405, 45) — y = x/9 melalui asalan: berubah secara langsung.

Sebuah van menggunakan 36 liter untuk 450 km. Dengan y = kx, cari petrol yang diperlukan untuk 275 km.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

36 = k(450), k = 0.08
y = 0.08 × 275 = 22 liter

Model kuadratik (Contoh 3, m.s. 237-238)

Kedalaman sungai, y m, pada jarak x m dari tebing sungai

x	0	4	8	12	18	25	30
y	0	1.5	2.3	2.9	2.9	1.7	0

Andaian: sungai paling dalam di bahagian tengah dan kedalamannya berkurangan sehingga 0 di tepi sungai. Data naik kemudian turun menyerupai parabola, maka gunakan y = ax² + bx + c.
Gantikan (0, 0): c = 0.
Gantikan (25, 1.7): 1.7 = 625a + 25b ①
Gantikan (30, 0): 0 = 900a + 30b, maka b = −30a ②
Ganti ② ke dalam ①: 1.7 = 625a − 750a = −125a, maka a = −0.0136 dan b = 0.408.
Model: y = −0.0136x² + 0.408x
Semak: x = 15 memberi y = −0.0136(225) + 0.408(15) = 3.06, hampir dengan 3 m yang dibaca daripada graf.

Tujuh titik data kedalaman sungai dengan lengkung parabola, paling dalam kira-kira x = 15 — Lengkung penyuaian terbaik dan data. Andaian "paling dalam di tengah" mungkin tidak benar bagi sungai lain; model baharu diperlukan untuk andaian baharu.

Mana-mana tiga titik pada lengkung memberi satu fungsi kuadratik. Pilih titik yang mudah digantikan, seperti (0, 0). Lebih banyak data menjadikan jawapan lebih tepat.

Terlupa bahawa c = 0 apabila lengkung melalui asalan, lalu menghadapi tiga pemboleh ubah dan bukan dua. Gunakan (0, 0) dahulu jika ada dalam data.

Model eksponen (Contoh 4, m.s. 239-240)

Faedah kompaun: RM20 000 pada kadar 4% setahun, dikompaun sekali setahun

Tahun	Hasil simpanan (RM)
1	20 000(1.04)
2	20 000(1.04)²
3	20 000(1.04)³
5	20 000(1.04)⁵ = 24 333.06

Setiap tahun kita mempunyai 100% prinsipal ditambah 4% baki sebelumnya, maka hasil simpanan didarab dengan 1.04 = 1 + r. Corak ini memberi model
A(t) = P(1 + r)^t

Lengkung A(t) = 20 000 darab 1.04 kuasa t, naik perlahan kemudian lebih cepat hingga kira-kira 96 000 pada 40 tahun — Pertumbuhan eksponen: hasil simpanan bertambah lebih cepat apabila masa, t, bertambah (m.s. 240).

Jika faedah dikompaun n kali setahun, kadar bagi setiap tempoh ialah r/n dan terdapat nt tempoh:
A(t) = P(1 + rn)^nt

Dikompaun	n	A(t)
Setahun sekali	1	P(1 + r)^t
Setengah tahun sekali	2	P(1 + r/2)^2t
3 bulan sekali	4	P(1 + r/4)^4t
Sebulan sekali	12	P(1 + r/12)^12t

Menggunakan kadar penuh r bagi setiap tempoh, atau terlupa mendarab t dengan n. Bagi 8% dikompaun 3 bulan sekali, gunakan 2% setiap tempoh dan 4t tempoh.

RM8 000 disimpan pada kadar 6% setahun dikompaun 3 bulan sekali selama 2 tahun. Cari hasil simpanan.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kadar setiap tempoh = 6% ÷ 4 = 1.5%; bilangan tempoh = 4 × 2 = 8
A = 8 000(1.015)⁸ = RM9 011.94

Latih Kendiri 8.1b no. 1 (m.s. 240): seorang pelari berlatih 32 km seminggu dan menambah jarak 10% daripada minggu sebelumnya. Terbitkan model bagi jarak larian, D(x), selepas x minggu.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Minggu 1: 32 + 32 × 0.1 = 32(1.1); minggu 2: 32(1.1)²; minggu 3: 32(1.1)³; maka D(x) = 32(1.1)^x, fungsi eksponen. Selepas 4 minggu, D(4) = 32(1.1)⁴ = 46.85 km. Jika permulaan s km dan tambahan r%, D(x) = s(1 + r100)^x.

Latih Kendiri 8.1b no. 2 (m.s. 240): mengapa kanak-kanak kecil lebih berisiko mengalami hipertermia daripada orang dewasa? Jadual menunjukkan kubus bersisi x unit.

Panjang sisi, x	1	2	3	4	5	6	7
Jumlah luas permukaan	6	24	54	96	150	216	294
Isi padu	1	8	27	64	125	216	343
y = luas ÷ isi padu	6	3	2	1.5	1.2	1	0.86

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kubus mewakili badan. Nisbah jumlah luas permukaan kepada isi padu ialah y = 6x² ÷ x³ = 6x, satu fungsi salingan. Kubus kecil mempunyai nisbah lebih besar, maka kehilangan cecair lebih cepat; kanak-kanak lebih berisiko mengalami dehidrasi dan hipertermia.

Melaporkan dapatan

Tulis laporan penuh berdasarkan struktur rangka kerja pemodelan: masalah, andaian dan pemboleh ubah, matematik, penentusahan, pemurnian, kemudian kesimpulan dengan kekuatan dan kelemahan model.

Latih Ekstensif no. 3 (m.s. 242): suhu troposfera menurun 6.5°C bagi setiap 1 000 m dan suhu pada paras laut (0 m) ialah 30°C. Tulis T sebagai fungsi altitud x m dan cari suhu pada 4 000 m.

Tunjuk jawapanSembunyi jawapan

Kadar penurunan = 6.5 ÷ 1 000 = 6.5 × 10^-3 °C per m. T = −(6.5 × 10^-3)x + 30. Kecerunan = −6.5 × 10^-3 (suhu turun 0.0065°C setiap 1 m) dan pintasan-y = 30°C (suhu pada paras laut). x = 4 000: T = −26 + 30 = 4°C.

Projek Mini (m.s. 241): anggarkan panjang pinggir pantai Malaysia menggunakan unit ukuran 200 km dan 100 km, kemudian ramalkan hasilnya bagi unit 50 km. Semakin kecil unit, semakin panjang anggaran. Terokai Matematik (m.s. 243): tentukan jenis piza untuk jamuan kelas dengan pemodelan; gunakan pemboleh ubah dan persamaan, dan buat andaian untuk mengehadkan pilihan.